Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается через . Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распределена нормально, F – по закону Фишера-Снедекора, T – по закону Стьюдента и т. д. Для обобщения обозначим эту величину К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым (эмпирическим) значением К_набл называется то значение критерия, которого вычислено по выборкам.

Критическая область. Область принятия гипотезы

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которой нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называется совокупность значений критерия, при которой нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) k_кр называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней называется критической область, определяемую неравенством K>k_кр, где k_кр– положительное число. Левосторнней называется критической область, определяемую неравенством K< k_кр, где k_кр – отрицательное число.

Двусторонней называется критическая область, определяемую неравенствами K< k₁, K>k₂, где k₂ >k_1. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенством: |K|>k_кр.

Проверка статистической гипотезы о незначимости различий оценок дисперсии

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсией двух нормальных генеральных совокупностей рассматривают критерий Фишера-Снедекора: в качестве критерия принимают отношение оценок большей из оценок дисперсий к меньшей, полученных на основании двух выборок объемами и:. Эта величина случайная. Полученной значение сравнивают с табличным значением, найденным по таблице Фишера-Снедекора. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе:, например, при уровне значимостир=0,05 находят по таблице значение и сравнивают с , если же конкурирующая гипотеза:, то находят критическую точку в таблице Фишера-Снедекора по уровню значимости(вдвое меньше заданного). Число степеней свободы вычисляют по формулам:и. Если, то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Если, то нулевую гипотезу отвергают.