Погрешности измерений. Истинная, абсолютная и относительные погрешности
Результаты измерений
почти никогда не дают точного (истинного)
значения величин, поскольку они содержат
те или иные погрешности. Если х
– измеренное
значение величины a,
то |a–x|
называется истинной абсолютной
погрешностью х,
а
– истинной относительной погрешностьюх.
Полностью учесть и исключить погрешности
невозможно, однако можно оценить пределы
погрешностей измерений, указав граничную
величину истинной абсолютной погрешности,
т. е. положительное число х,
для которого выполняется неравенство:
|a–x|х.
Величина х
называется абсолютной погрешностью.
Типы погрешностей
Систематические, кот при многократном измерении одной и той же величины остаются постоянными или меняются по определенному закону.
Случайные – неопределенные по величине и природе погрешности, обусловленные причинами, зависящими от измерительного устройства.
Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, существенно превышающие случайные и систематические погрешности.
Оценка истинного значения измеряемой величины
Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины х1; х2; …; хn. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии σ (измерения равноточные) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов.
Абсолютная
погрешность среднего арифметического
независимых измерений оценивается по
формуле:
.
Интервальной
оценкой величины х
является
доверительный интервал
,
в который попадает истинное значение
с заданной доверительной вероятностью.
Окончательный результат измерений
запишется в виде:
.
Относительная
погрешность среднего арифметического:
Вычисление абсолютной погрешности косвенных измерений
Если искомая величина у связана с измеряемой х функциональной зависимостью: y=f(x1,x2,…xn), то такая величина называется косвенно измеряемой.
На практике достаточно часто требуется найти косвенно измеряемую величину и абсолютную и относительную погрешности косвенных измерений.
Пусть
y=f(x)
– функция
зависит от одной переменной х.
Были проведены измерения величины
х(
),
где
– среднее арифметическое прямых
измерений величиных,
а
–
погрешность прибора или абсолютная
погрешность прямых измерений.
Значение
косвенно измеряемой величины вычисляется
по формуле
.
Абсолютная погрешность величины у вычисляется по формуле:
,
где
–
производная у по переменнойх.
Относительная
погрешность вычисляется по формуле:
.
Пусть
z=f(x,y)
– функция, зависящая от двух переменных
х и у. Проведены измерения величин х
и у:
х(
)
и
,
где
и
–
средние арифметические прямых измерений
величинх
и у,
и
–
погрешности приборов или абсолютные
погрешности прямых измерений.
Значение
косвенно измеряемой величины вычисляется
по формуле
.
Абсолютная погрешность величины z=f(x,y) вычисляется по формуле:
.
Относительная
погрешность вычисляется по формуле
Решение задач
1. Известно, что
количественный признак х
генеральной совокупности распределен
нормально. По выборке объема n=20
найдены
выборочная средняя
и несмещенная оценка дисперсии
.
Определить интервальную оценку
математического ожидания с доверительной
вероятностьюр=0,95.
2. В результате измерений некоторой величины получены значения 15, 20, 17, 15, 19, 18, 17, 16, 18, 18, 17, 16, 17, 18, 17, 19. Найти приближенное значение величины с вероятностью 0,95.
3. При измерении длины некоторого вируса получены значения: 0,33; 0,34; 0,32; 0,33; 0,31 (нм). Найти приближенное значение длины вируса, абсолютную и относительную погрешности. Оценить качество измерений с вероятностью 0,95.
4. Вычислить объем
куба с ребром
см. Оценить качество измерений.
5. Вычислить объем
прямоугольного параллелепипеда, если
длины его ребер:
см;
см;
см. Оценить качество измерений.