Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей, то вероятность того, что в результате испытания Х примет какое-нибудь значение из интервала (a, b), равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от a до b, то .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то можно доказать, что .

Решение задач

1. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, если на отрезке [0, 1].

2. Нормально распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50)

5. Самостоятельная работа студентов на занятии

5.1. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины a) на отрезке [0,], если; б) на отрезке [0, 1], если.

5.2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (12, 14).

5.3. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали – случайная величина Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм и средним квадратическим отклонением σ=3 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не мерее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

5.4. Написать дифференциальную функцию нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М(Х)=3, D(Х)=16.

5.5. В компьютерном классе средствами Excel построить функцию плотности распределения, полученную в задаче 5.4.

6. Задание на дом

6.1. Практика:

6.1.1. Найти характеристики распределения для непрерывной случайной величины на интервале [0, 2], если: a); б).

6.1.2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (15, 25).

6.1.3. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 171 № 17.

17. Известно, что для человека pН крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 7,4 и средним квадратическим отклонением 0,2. Найти вероятность того, что уровень рН находится между 7,35 и 7,45 соответственно.

6.2. Теория.

6.2.1. Лекция по теме «Основы выборочного метода. Статистический ряд распределения»

6.2.2. Лобоцкая Н.Л. и др. С 178-189.

1. Тема: Статистический ряд распределения. Полигон и гистограмма. Вычисление оценок характеристик распределения

2. Актуальность темы: математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов и числовых характеристик по результатам эксперимента.

3. Цель занятия: закрепить основные понятия математической статистики; научиться строить полигоны и гистограммы; закрепить методику отыскания оценок характеристик генеральной совокупности по данным выборки.