Анализ временного ряда

Получив временной ряд, проводят его анализ, заключающийся в определении изменений, происходящих в рассматриваемом ряде.

Характеристики временного ряда:

Абсолютный прирост у = y_t+k–y_t – разность между двумя сравниваемыми уровнями, где y_t – базисный уровень. Абсолютный прирост характеризует увеличение (уменьшение) уровня y_t+k по сравнению с базисным;

Коэффициент роста – безразмерная величина, показывающая во сколько раз уровень ряда y_t+k больше (меньше) базисного:.

На практике обычно пользуются не коэффициентом роста, а темпом роста , если к=1, то Т_р наз цепным темпом роста;

Темп прироста: .

Средние характеристики временного ряда:

Средние характеристики временного ряда являются обобщенными характеристиками.

Средним абсолютным приростом называют скорость возрастания уровня, который вычисляют по формуле: , (к+1– количество исследуемых лет);

Средний темп роста: ;

Средний темп прироста: .

Определение тренда временного ряда и прогноз

Тренд – типичная характеристика изменения временного ряда и в идеале f(t)– математическое ожидание. На практике в качестве вида тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. В качестве таких моделей могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие. Под «сглаживанием» временного ряда будем понимать более выровненные значения временного ряда, «освобожденные» от воздействия случайных факторов.

Метод скользящей средней

Сглаживание методом скользящей средней заключается в выполнении ряда этапов. На координатную плоскость наносят точки с координатами (t, y_t).

Выбирают интервал времени, в который входят обычно 3-5 значений временного ряда. Целесообразно выбирать интервал так, чтобы в него попало нечетное число значений временного ряда. Пусть для некоторого временного ряда выбран интервал, содержащий три уровня временного ряда. Тогда рассматриваются интервалы со значениями, сдвинутыми на одно значение: …..

Для каждого интервала вычисляются средние арифметические: . В результате этих вычислений случайные влияния могут быть частично исключены. Метод скользящей средней можно применить повторно для практически полного исключения влияния нау_t случайных факторов, определяющих случайную компоненту _t.

Если уравнение тренда имеет вид y=kt+b, то (при условии, чтоy_t=kt+b ; y_t+1=k(t+1)+b), коэффициент k имеет смысл прироста уровня в единицу времени. следовательно для каждого интервала времени найдем k_i. Считая, что тренд – прямая линия, можно в качестве k взять среднее арифметическое полученных значений его для различных интервалов времени ().

Так как то следующее значение. Используя данную формулу можно сделать прогноз.:.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов заключается в получении таких коэффициентов уравнения тренда, при которых сумма отклонений эмпирических значений от расчетных окажется наименьшей. Для определения вида уравнения тренда строят график (по оси ох откладывают t, а по оси оу – уровни временного ряда у_t).

Если уравнение тренда – прямая: , то система нормальных уравнений имеет вид:.

Если уравнение тренда имеет вид: , то имеем систему:.

При нахождении коэффициентов модели методом наименьших квадратов удобно ввести новую переменную , где.

Тогда для линейной модели тренда и система будет иметь вид:, так как, то система примет вид:. По полученной формуле уравнения трендаможно получить сглаженные значения и прогноз по методу наименьших квадратов.