Факторная и остаточная дисперсии

Пусть на рассматриваемую величину X влияет фактор F, который имеет р уровней. На каждом уровне, т. е. для одного из видов факто­ра F, проводятся измерения величины X. Будем полагать, что число таких измерений для всех уровней одинаково и равно q.

Пусть наблюдалось значенийx_ij признака Х, где i – номер испытания, а j – номер уровня фактора. Полученные статистические данные заносят в таблицу. Данные в таблице сгруппированы по столбцам, что соответствует определенному уровню фактора.

Номер испытания	Уровни фактора F
	F1	F2	…	Fp
1	x11	x12	…	x1p
2	x21	x22	…	x2p
…	…	…	…	…
q	xq1	xq2	…	xqp
Групповые средние			…

В последней строке таблицы записываются вычисленные выборочные средние или групповые выборочные средние:для всех.

Общей групповой средней является величина, равная: .Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей среднейвычисляется по формуле:.

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней, которая характеризует рассеяние между группами:.

Остаточная сумма квадратов отклонений показывает отклонение наблюдаемых значений x_ij группы от своей групповой средней и характеризует рассеяние внутри групп: .

На практике остаточную сумму находят по равенству: .

Вычислив рассмотренные выше суммы можно вычислить факторную и остаточную дисперсии.

Формула несмещенной оценки факторной дисперсии зависящей от p составляющих имеет вид: .

Остаточная дисперсия зависит от pq составляющих, следовательно, несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: .

Общая несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: .

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии. В этом состоит метод дисперсионного анализа.

Решение задач

1. Для проверки влияния внутреннего оформления аптеки на количество продаваемых товаров проведена выборочная проверка товарооборота за пять месяцев.

Результаты приведены в таблице:

Номер испытания	Уровни фактора
	F1	F2	Fp
1	2	3	1
2	4	5	4
3	3	4	5
4	2	3	10
5	1	6	3

Проверить нулевую гипотезу при о существенном влиянии оформления на товарооборот.

5. Самостоятельная работа студентов на занятии

5.1. Проведено по пять измерений на каждом из четырех уровней фактора F. Результаты представлены в таблице. Проверить методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу о влиянии фактора на результат.

	Уровни фактора
	F1	F2	Fp
1	2	5	7
2	3	4	8
3	4	4	8
4	2	5	7
5	3	5	8

5.2. Решить задачу 5.1 с применением MS Excel.