1. Тема: Элементы теории массового обслуживания

2. Актуальность темы: теория СМО (системы массового обслуживания) позволяет решать практическую задачу - оптимизации обслуживания.

3. Цель занятия: приобрести навыки определения основных характеристик систем массового обслуживания.

3.1 Целевые задачи:

знать: основные понятия теории систем массового обслуживания: плотность потока требований, интенсивность обслуживания, дисциплина обслуживания. Одноканальные и многоканальные системы массового обслуживания;

уметь: решать задачи на определение основных характеристик одноканальных систем массового обслуживания.

4. Краткие сведения из теоретического курса Основные понятия теории массового обслуживания

Потоком событий называется последовательность событий А₁, А₂,...,А_n,….. наступающих в случайные моменты времени t_]<t₂<...<t_n<….

Например, поток покупателей в аптеке, магазине, поток пациентов на прием к врачу и т.д. По числу каналов системы массового обслуживания (СМО) делят на одноканальные и многоканальные.

Находящиеся в системе массового обслуживания заявки могут либо ожидать обслуживания, либо находится под обслуживанием. Ожидающие обслуживания образуют очередь. Такие системы массового обслуживания называются СМО с очередью. СМО, которые отказывают в выполнении заявки при занятости всех каналов, называются СМО с отказами. Показатели эффективности СМО описывают ее возможность справляться с потоком заявок. Для СМО с отказами показателями эффективности являются, например: абсолютная пропускная способность, относительная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов. Для СМО с очередью: среднее время ожидания обслуживания, среднее число заявок в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, вероятность того, что канал занят.

Случайный процесс называется марковским, или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данные момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Потоком, событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Стационарным называется поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени.

Потоком событий без последствий называется поток, число событий которого, попавших на заданный временной интервал, не зависит от числа событий, попавших на другие интервалы.

Ординарным потоком событий называется поток, в котором вероятность попадания на элементарный временной интервал двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий называется поток, если он является стационарным, ординарным и не имеет последствия.

Если рассматриваемый поток является пуассоновским и про­стейшим, то для него справедливы следующие утверждения:

• вероятность p_k (t) того, что за промежуток времени t произойдет к событий, равна , где - интенсивность потока, т.е. имеем распределение Пуассона с параметром t;

• вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными событиями будет меньше t равна: ,то есть промежуток времени, разделяющий два последовательных события, подчиняется показательному закону с параметром .

Основными понятиями теории массового обслуживания так же, как и потоки событий, являются процессы гибели и размножения. Название данного процесса связано с биологией, где граф его состояний используется для исследования динамики колебаний численности популяции животных. Процесс гибели и размножения изображается следующей схе­мой (графом):

где S_k - возможные состояния процесса,

_к - интенсивности размножения,

_к - интенсивности гибели.

Вероятность того, что в некоторый момент времени система будет находиться в состоянии S_k, обозначают p_k(t). При анализе численности популяции считают, что состояние S_k соответствует численности популяции, равной k, и переход системы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние S_k-1 – при гибели одного члена популяции.

Предельные финальные состояния для такой СМО вычисляются по формулам:

,

.

Рассмотрим одноканальную систему с отказами. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания имеет интенсивность µ. Средне время обслуживания . Система имеет два состояния: S₀ – канал свободен, S₁ – канал занят. Граф состояний имеет вид:

Предельные вероятности состояний вычисляют по формулам:

.

Относительная пропускная способность, т.е. средняя доля пришедших заявок, обсуживаемых системой, вычисляется по формуле: . Вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной: .Абсолютная пропускная способность равна: .

Решение задач

1. Среднее число заказов медпрепаратов по телефону, поступающих в сервисную службу за одну минуту, равно 3. Найти:

а) вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 заказа;

б) вероятность того, что за промежуток времени между 3 ближайшими заказами дважды будет меньше 10 секунд.

Поток заказов полагать простейшим.

2. Процесс гибели и размножения представлен графом:

Найти предельные вероятности состояний.