Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит среднее квадратическое отклонение.
Средним
квадратическим отклонением
случайной величины Х
называется квадратный корень из
дисперсии:
.
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью Х.
Говорят,
что в пределах нормы от математического
ожидания отклоняются значения случайной
величины, удовлетворяющие неравенству:
.
Решение задач
1. Пусть в некоторой лотерее разыгрываются 1000 билетов. Один билет имеет выигрыш 10000 рублей, два билета – по 3000 рублей, 10 – по 500 рублей и 50 по 10 рублей. Установить закон распределения случайного выигрыша для владельца одного билета.
2. В задаче по лотерею определить средний выигрыш для владельца одного билета.
3. Закон распределения задан таблицей:
-
хi
1
2
3
4
pi
0,2
0,4
0,3
0,1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
4. Дано распределение числа очков полученных стрелком при одном выстреле по мишени с шестью областями:
|
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
pi |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
Найти: а) характеристики распределения;
б) вычислить вероятность того, что в результате одного выстрела стрелок попадет в область 3, или 4, или 5;
в) вычислить вероятность того, что в результате одного выстрела стрелок не промахнется;
г) какие числа очков отклоняются от математического ожидания в пределах нормы.
5. Самостоятельная работа студентов на занятии
5.1. Дискретная случайная величина задана законом распределения
|
хi |
1 |
3 |
6 |
8 |
|
pi |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Найти характеристики распределения.
5.2. Дискретная случайная величина задана законом распределения
|
хi |
2 |
4 |
5 |
6 |
|
pi |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Найти значения случайной величины, отклоняющиеся от математического ожидания в пределах нормы.
5.3. Решить задачу 5.1 средствами Excel.
6. Задание на дом
6.1. Практика:
6.1.1. Дана дискретная случайная величина:
|
хi |
10 |
15 |
20 |
25 |
|
pi |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
Найти значения случайной величины, отклоняющиеся от математического ожидания в пределах нормы.
6.1.2. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 170 № 1, 5
1. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрываются один выигрыш в 1000 руб., четыре по 500 руб., пять по 400 руб. и десять выигрышей по 100 руб. Установить закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
5. Закон распределения случайной величины Х задан следующей таблицей:
|
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pi |
0,13 |
0,35 |
0,35 |
0,15 |
0,22 |
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
6.2. Теория.
6.2.1. Лекция по теме «Точечные оценки характеристик распределения»
6.2.2. Лобоцкая Н.Л. и др. С 186-190.