5. Самостоятельная работа студентов на занятии
5.1. В урне 20 шаров с номерами № 1, № 2, № 3, .... № 20. Какова вероятность вынуть шар с № 37?
5.2. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадает орел?
5.3.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.
5.4. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей? Чему равна относительная частота появления нестандартной детали?
5.5. Набирая номер телефона, абонент забыл одну последнюю цифру. Найти вероятность того, что абонент набрал правильный номер.
5.6. По данным автопредприятия на 1000 рейсов автобусов в 50 случаются поломки. Найти вероятность поломки одного автобуса.
5.7. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.
5.8. В лотерее разыгрываются 100 билетов с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного билета не содержит цифры два.
6. Задание на дом.
6.1. Практика:
6.1.1. Из колоды карт наудачу выбирают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковой масти.
6.1.2. Из тщательно перемешанного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась: а) дублем; б) не дублем.
6.1.3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;
сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.
6.1.3. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 145 № 1, 3.
1. Среди 500 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 10 ампул с трещинами. Определить относительную частоту появления ампул, имеющих трещины.
3. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков.
6.2. Теория.
6.2.1. Лекция по теме «Теоремы теории вероятностей. Повторные испытания»
6.2.2. Лобоцкая Н.Л. и др. С 141-142, 144-145.
1. Тема: Теоремы теории вероятностей. Повторные испытания
2. Актуальность темы: при практическом применении теории вероятностей особое значение имеют события, связанные с независимыми повторными испытаниями.
3. Цель занятия: закрепить методику решения задач на определение вероятности события с помощью основных терем теории вероятностей, а также решение задач на вычисление вероятности событий, проведенных по схеме Бернулли.
3.1 Целевые задачи:
знать: формулировки теоремы сложения для несовместных событий; следствий из теоремы сложения; теоремы умножения для независимых и зависимых событий; формулу вероятности хотя бы одного события; формулу полной вероятности; схему Бернулли; формулу Бернулли; закон Пуассона.
уметь: решать задачи на вычисление вероятности событий.
4. Краткие сведения из теоретического курса
Основные теоремы теории вероятностей. Теорема сложения
Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, заключающееся в наступлении события А, или события В, или событий А и В одновременно. Если события А и В несовместны, то событие С заключается в осуществлении события А или события В.
Теорема: Вероятность наступления одного из двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие 1. (теорема сложения для любого числа несовместных событий). Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Следствие 2. (Сумма вероятностей для полной группы событий). Сумма вероятностей событий А1, А2, … Аn , образующих полную группу, равна единице:
.
Следствие
3. (свойство противоположных событий).
Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице:
.
Теорема умножения. Условная вероятность
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь окрашенная, событие В – деталь годная, то АВ – деталь годная и окрашенная.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме указанных условий не налагается, то такую вероятность называется безусловной вероятностью; если же накладываются и другие, дополнительные условия, то условной вероятностью.
Например,
часто приходится вычислять вероятность
события В
при
дополнительном условии, что произошло
событие А.
Условной
вероятностью
называется вероятность событияВ,
вычисленную в предположении, что событие
А
уже наступило.
Рассмотрим
два события А
и В.
Пусть вероятность Р(А)
и
известны.
Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
.
Можно
распространить теорему на большее число
событий. Например, для трех событий:
.