Приклади розв’язання задач

Задача 1. Горизонтальний дріт АЕ, натяг якого Т=600Н, підвішений до вертикального стовпа АВ, укріпленого розтяжками АС і АD, які розташовані симетрично відносно площини ВАЕ. Відомо: АВ=6м, ВС=BD=4,5м, СВD=120⁰. Визначити натяг розтяжок та зусилля в стовпі (рис.18).

Розв’язання

Р

Рис. 18

озглянемо рівновагу вершини стовпаА. Зобразимо всі сили, що діють на неї: сила – реакція дротуАЕ, реакція стовпаАВ і реакції ірозтяжокАС і АD. Вони, як бачимо, не лежать в одній площині, отже, утворюють просторову систему збіжних сил. Умови рівноваги цієї системи виражаються рівностями:

=0, =0, =0.

Проведемо осі координат із точки В, вісь z напрямимо вздовж стовпа АВ, вісь y – паралельно дроту АЕ, а вісь x – перпендикулярно до осей y і z.

Позначимо АСВ=ADB=α.

Складемо рівняння рівноваги:

; (1)

; (2)

. (3)

Визначимо cos α та sin α:

.

З рівняння (1) маємо: Т₁=Т₂.

З рівняння (2) визначимо ці сили: ;

(Н),

тобто Т₁=Т₂=1000(Н).

З рівняння (3) визначимо S:

;

(H).

Знак «мінус» показує, що вертикальний стовп стиснений.

Задача 2. Підйомний кран установлений на триколісному візку АВС. Кран зрівноважується противагою F. Розміри: AD=DB=2м; CD=3м; СМ=1м. Вага крана з противагою дорівнює Р=250кН і прикладена в точці G, що лежить у площині LMNF на відстані 0,5м від осі крана MN; вантаж, який піднімає кран, Q=50кН. Знайти тиск коліс на рейки, коли площина крана LMN паралельна АВ (рис. 19).

Розв’язання

Кран перебуває в рівновазі під дією заданих сил таі реакцій рейок,та_. Ці сили утворюють просторову систему паралельних сил. Вибираємо осі координат, як показано на рисунку, і складаємо рівняння рівноваги крана:

; (1)

; (2)

. (3)

Рис. 19

З рівняння (3) знаходимо реакцію R_C:

(кН).

З рівняння (1) виразимо R_A і підставимо в рівняння (2):

; (4)

.

Розв’язуючи це рівняння, визначимо реакцію R_B:

.

;

Далі визначаємо реакцію R_A з рівняння (4):

(кH).

Обчисливши реакції рейок ,та, можна стверджувати, що тиск коліс на рейки,таза модулем дорівнює знайденим реакціям, тобто:

T_A=R_A=31,25 (кН), T_B=R_B=68,75 (кН), T_C=R_C=200 (кН).

З

Рис. 20

адача 3. На горизонтальний вал АВ насаджені зубчате колесо 1 діаметром D=1,2м і шестерня 2, діаметр якої d=40см. Решта розмірів вказані на рисунку. До колеса 1 по дотичній прикладена горизонтальна сила Р=1кН, а до шестерні 2 також по дотичній прикладена вертикальна сила Q. Визначити силу Q і реакції підшипників А і В у стані рівноваги. Масу деталей до уваги не брати (рис.20).

Розв’язання

Розглянемо рівновагу вала із зубчатим колесом і шестернею. Реакції підшипників А і В розміщені в площинах перпендикулярних до осі вала (рис.20). Тому розкладемо кожну з цих реакцій на дві взаємноперпендикулярні складові,і,відповідно. Отже, на згадану систему тіл діє просторова система шести сил, п’ять з яких:,,,таневідомі за величиною. Складемо рівняння рівноваги просторової системи довільно розміщених сил:

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

. (5)

Розв’язуючи рівняння (4), дістанемо:

.

З рівняння (3) знайдемо реакцію Z_B:

.

З рівняння (5):

.

З рівняння (2):

.

З першого рівняння маємо:

Знак «мінус» у реакцій Х_А, Z_A, X_B, Z_B показує, що ці реакції мають напрямки, протилежні показаним на рисунку.