- •Міністерство освіти і науки України
- •Модуль «статика абсолютно твердого тіла»
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 1.1
- •До задачі 1.2
- •До задачі 1.3
- •До задачі 1.5
- •До задачі 1.6
- •До задачі 1.7
- •До задачі 1.10
- •До задачі 1.12
- •До задачі 1.13
- •Практичне заняття №2 Тема: Система паралельних сил. Центр ваги Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 2.2
- •До задачі 2.5
- •До задачі 2.7
- •До задачі 2.8
- •До задачі 2.9
- •Практичне заняття №3 Тема: Довільна плоска система сил Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •До задачі 3.10
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 4.3
- •До задачі 4.7
- •Модуль «кінематика матеріальної точки та твердого тіла»
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 5.6
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 6.1
- •Практичне заняття №7 Тема: Поступальний та обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі Програмні запитання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 7.9
- •Практичне заняття №8 Тема: Плоскопаралельний рух твердого тіла. Складний рух точки та тіла Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 8.1
- •До задачі 8.2
- •До задачі 8.3
- •До задачі 8.6
- •До задачі 8.7
- •До задачі 8.9
- •Модуль «динаміка матеріальної точки та механічної системи»
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •Практичне заняття №10 Тема: Розв’язання другої задачі динаміки матеріальної точки Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 10.6
- •Практичне заняття №11 Тема: Прямолінійні коливання матеріальної точки Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 11.1
- •До задачі 11.7
- •Практичне заняття №12 Тема: Теореми про зміну кількості руху матеріальної точки та механічної системи. Теореми про зміну моменту кількості руху матеріальної точки та системи Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 12.5
- •До задачі 12.8
- •До задачі 12.9
- •Практичне заняття №13 Тема: Теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної точки та механічної системи. Теорема про рух центра мас системи Програмні питання
- •Література
- •Короткі теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання задач
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •До задачі 13.7
- •До задачі 13.8
- •До задачі 13.10
- •До задачі 13.11
- •Тестові завдання Модуль «Статика абсолютно твердого тіла»
- •Модуль «Кінематика матеріальної точки та твердого тіла»
- •Модуль «Динаміка матеріальної точки та механічної системи»
- •Контрольні завдання Модуль «Статика абсолютно твердого тіла»
- •Модуль «Кінематика матеріальної точки та твердого тіла»
- •Модуль «Динаміка матеріальної точки та механічної системи»
- •Питання до підсумкового контролю Модуль «Статика абсолютно твердого тіла»
- •Модуль «Кінематика матеріальної точки та твердого тіла»
- •Модуль «Динаміка матеріальної точки та механічної системи»
- •Список рекомендованої літератури
- •Додатки
- •Формули алгебри і тригонометрії
- •Спеціальні значення тригонометричних функцій
- •Одиниці механічних величин у системі сі
- •Латинський алфавіт
- •Грецький алфавіт
Приклади розв’язання задач
Задача 1. До вільного кінця А пружного горизонтального стержня, другий кінець В якого закріплений нерухомо, підвішений вантаж М вагою Р=40Н. Пружна сила стержня пропорційна стрілі прогину f. Статична стріла прогину стержня fст=0,04м. Визначити рівняння вантажу і період його коливань. Стержень прогинається на 0,01м під дією сили 10Н.
Розв’язання
На вантаж М, який розглянемо як матеріальну точку, діють сила ваги та сила пружності(рис. 42).
Нехай М0 — початкове положення вантажу, при якому стержень не має прогину. Вісь Оx напрямимо вздовж вертикальної прямої, по якій рухається вантаж. Початок координат О оберемо в положенні статичної рівноваги так, що . У цьому положенні
,
де с – коефіцієнт пружності.
У
Рис.
42
Складемо диференціальне рівняння руху вантажу:
,
звідки враховуючи, що P=сfст, дістанемо:
або ,
де .
Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку має загальний розв’язок:
.
Сталі С1 і С2 визначаємо з початкових умов: при t=0: x0=–fст, . Дістанемо:С1=–fст, С2=0.
Тоді закон коливального руху вантажу буде:
або враховуючи, що fст=0,04м, с=10Н/м, , рівняння руху вантажу набуде вигляду:
.
Період коливань:
.
Задача 2. Тіло масою m=2кг, підвішене на пружині, відхиляють вниз із положення рівноваги x0=0,04м і відпускають, надаючи йому швидкість , напрямлену вгору. Відомо, що силаF=12Н збільшує довжину пружини на 0,03м. Знайти основні характеристики і кінематичний закон руху тіла.
Розв’язання
Очевидно, що тіло здійснює вільні гармонійні прямолінійні коливання. Тоді закон його руху має вигляд:
.
Знайдемо характеристики руху тіла: A – амплітуду, T – період, k – кругову частоту, – початкову фазу коливань.
Знаючи, що (дес — коефіцієнт жорсткості пружини), визначимо с:
Тоді:
(с–1);
(с);
(м);
звідки
.
Кінематичний закон руху тіла:
(м).
Задача 3.Тверде тіло масою m=0,4кг підвішене на пружині, верхній кінець якої здійснює гармонійні коливання вздовж вертикальної прямої за законом , при цьомуa=0,02м, р=7с–1. Під дією сили, яка дорівнює 0,4Н, пружина видовжується на 0,01м. Визначити закон вимушених коливань тіла.
Розв’язання
Т
Рис.
43
Складемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в проекції на вісь Ох:
. (1)
Позначимо ,, тоді рівняння (1) набуде вигляду:
. (2)
З урахуванням початкових умов:
,
тоді k=10c-1,
.
Оскільки , амплітуда вимушених коливань:
.
Тоді закон руху тіла має вигляд:
.
Питання для самоконтролю
Вивести диференціальне рівняння вільних коливань точки. Його загальні розв’язки в двох виглядах.
Дати кінематичну інтерпретацію всім характеристикам вільних коливань точки.
Що називається амплітудою коливань, фазою, початковою фазою, круговою частотою, частотою та періодом коливань?
Як визначаються сталі інтегрування А та α?
Як впливає стала сила на характер вільних коливань точки?
Коли виникають вимушені коливання матеріальної точки?
Записати диференціальне рівняння вимушених коливань точки та його загальний розв’язок.
Дати пояснення явищу резонансу.