Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л. 27.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Высшая школа, 1986. – 461 с., §§ 94 – 96.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики — М.: Наука, 1983. – 400 с., §§ 74 – 76.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§16.1 – 16.4.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Наука, 1986. – 448 с.

Короткі теоретичні відомості

В

Рис. 40

ільні коливання точки.Розглянемо точку M, яка рухається прямолінійно під дією однієї тільки поновлюючої сили , напрямленої до нерухомого центраO і пропорційної відстані від його центра. Проекція сили на вісьOx буде (рис.40):

Сила намагається повернути точку в положення рівновагиО, де F=0, тому і назва „поновлююча” сила. Прикладом такої сили є сила пружності.

Знайдемо закон руху точки M. Складемо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь х, дістанемо:

або

Розділивши обидві частини рівняння на m і ввівши позначення

дійдемо результату:

Це рівняння є диференціальним рівнянням вільних коливань при відсутності опору.

Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

де С₁ і С₂ – сталі інтегрування.

Якщо замість сталих С₁ і С₂ ввести сталі А і α, такі, що ,, то дістанемо:

x=A(sin kt cos α+cos kt sin α)

або

Це другий вигляд розв’язання диференціального рівняння, де сталі інтегрування А і α. Ним зручніше користуватись для загальних досліджень.

Швидкість точки в цьому русі:

Коливання, здійснювані за цим законом, називаються гармонійними коливаннями точки.

Всім характеристикам цього руху можна дати наочну кінематичну інтерпретацію.

Величина A, яка дорівнює найбільшому відхиленню точки M від центра О, називається амплітудою коливань. Величина φ=kt+α називається фазою коливань. Величина α визначає фазу початку коливань (початкова фаза).

Величина k називається круговою частотою коливань.

Проміжок часу T (або τ), за який точка здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. По проходженні періоду фаза змінюється на 2π. Отже, повинно бути kТ=2π, звідки період:

Величина , обернена періоду, яка визначає кількість коливань за1с, називається частотою коливань:

Величина k відрізняється від на сталий множник2π. Далі ми будемо частотою коливань називати величину k.

Вимушені коливання точки. Явище резонансу. Розглянемо випадок коливань, які виникають тоді, коли на точку, крім поновлюючої сили , діє ще сила, яка змінюється з часом і проекція якої на вісьх дорівнює:

Q_x=Q₀sin pt.

Ця сила називається збуджуючою, а коливання, що здійснюються під дією такої сили, називаються вимушеними. Величина р називається частотою збуджуючої сили.

Диференціальним рівнянням вимушених коливань точки при відсутності опору є:

де .

Загальний розв'язок рівняння має вигляд:

або

де А і α – сталі інтегрування, які визначаються за початковими умовами.

Ц

Рис.41

ей розв'язок показує, що коливання в цьому випадку складаються з: 1) коливань із амплітудоюА (яка залежить від початкових умов) і частотою k, які називаються власними коливаннями; 2) коливань із амплітудою B (яка не залежить від початкових умов) і частотою p, які називаються вимушеними коливаннями.

Резонанс. У випадку коли p=k, тобто частота збуджуючої сили дорівнює частоті власних коливань, має місце явище, яке називається резонансом. Можна довести, що амплітуда вимушених коливань при резонансі буде з часом необмежено зростати (рис. 41).