Приклади розв’язання задач

Задача 1. Точка рухається згідно рівнянь (t – в секундах, x, y – в метрах). Визначити величину і напрямок швидкості й прискорення точки в момент часу t=1c.

Розв’язання

Визначимо проекції швидкості точки на осі координат x та y:

v_x==3t², v_y==4t+1.

Модуль швидкості:

v===(м/с).

У момент часу t=1c: v===5,9(м/с).

Знаходимо напрямні косинуси :

соs(,ˆx)==;соs(,ˆy)==.

Визначимо проекції вектора прискорення точки на координатні осі x та y:

а_x==6t, а_y==4.

Модуль прискорення: a=(м/с²).

У момент часу t=1c: a=(м/с² ).

Напрямні косинуси:

соs(,ˆx)===0,83;соs(,ˆy)===0,55.

Задача 2. Автомобіль, маючи початкову швидкість v₀=36км/год, пройшов s=500м у перші t=20c. Вважаючи рух автомобіля рівнозмінним, визначити швидкість і прискорення автомобіля в кінці 20с, якщо рух автомобіля проходить по закругленню радіусом R=800м.

Розв’язання

Оскільки рух автомобіля рівнозмінний, застосуємо формулу:

s=v₀ t+; v₀=(м/с).

Звідси:

=

Швидкість автомобіля через 20с становить:

v=v₀+а_τt=10+1,5∙20=40(м/с).

Визначимо доцентрове прискорення автомобіля:

(м/с²).

Тоді повне прискорення в кінці 20с дорівнює:

a=(м/с²).

Питання для самоконтролю

1. Що називається середньою швидкістю точки за проміжок часу ∆t?

2. Дати означення швидкості точки в даний момент часу?

3. Який напрямок має вектор швидкості у даний момент часу?

4. Як визначається величина та напрямок швидкості при координатному способі задання руху точки?

5. Як визначається швидкість при натуральному способі задання руху точки? Який напрямок вона має?

6. Що називається середнім прискоренням точки за проміжок часу ∆t?

7. Дати означення прискоренню точки в даний момент часу? Чому воно дорівнює?

8. Який напрямок має вектор прискорення в даний момент часу?

9. Як визначається прискорення точки при координатному способі задання її руху?

10. Як визначається прискорення при натуральному способі задання руху точки?

11. Який напрямок мають нормальне та дотичне прискорення?

12. Якими рівняннями описуються прямолінійний рух, рівно-змінні криволінійний та прямолінійний рухи? Як у них визначається прискорення?

Задачі для самостійного розв’язання

З

До задачі 6.1

адача 6.1. Кривошип ОА обертається зі сталою кутовою швидкістю . Знайти швидкість серединиМ шатуна кривошипно-повзункового механізму і швидкість повзуна В у залежності від часу, якщо ОА=АВ=а.

Відповідь: ; v_B=2aω sin ω t.

Задача 6.2. Рівняння руху пальця кривошипа дизеля в період пуску мають вигляд ,(х, у – в сантиметрах, t – в секундах). Визначити швидкість, дотичне і нормальне прискорення пальця.

Відповідь: v=600см/с, а_τ=600см/с², а_п=4800t²см/с².

Задача 6.3. Водяні краплі витікають з отвору вертикальної трубки через 0,1 с одна після одної і падають з прискоренням . Визначити відстань між першою і другою краплями через1 с після моменту витікання першої краплі.

Відповідь: 0,932м.

Задача 6.4. Рух точки задано рівняннями:

,

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах). Визначити траєкторію точки, величину і напрямок швидкості, а також величину і напрямок прискорення.

Відповідь: коло радіусом 10см, швидкість v=4π см/с і напрямлена по дотичній у бік переходу від осі Ох до осі Оу з поворотом на 90⁰, прискорення а=1,6π² см/с² і напрямлене до центра.

Задача 6.5. Рух точки задано рівняннями:

,

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах). Визначити величину, напрямок швидкості й прискорення точки в момент часу t=1с.

Відповідь: , a=2cм/c², (,^{^}x)=45⁰, (, ^{^}x)=90⁰.

Задача 6.6. Потяг, маючи початкову швидкість , пройшов 600м у перші 30с. Вважаючи рух потяга рівнозмінним, визначити його швидкість і прискорення в кінці тридцятої секунди, якщо рух потяга відбувається на закругленні радіусом R=1км.

Відповідь: v=25м/с, а=0,708м/с².

Задача 6.7. Потяг рухається рівносповільнено по дузі кола радіусом R=800м і проходить шлях s=800м, маючи початкову швидкість і кінцеву. Визначити повне прискорення на початку і в кінці дуги, а також час руху по цій дузі.

Відповідь: а₀=0,308см/с², а=0,129м/с², t=80c.

Задача 6.8. Потяг рухається із швидкістю ; при гальмуванні він має cповільнення, що дорівнює. Знайти, за який час до прибуття потяга на станцію і на якій відстані від неї повинно розпочатися гальмування.

Відповідь: 50с, 500м.

Задача 6.9. Точка описує фігуру Ліссажу згідно рівнянь:

,

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах). Визначити величину і напрямок швидкості точки, коли вона знаходиться на осі Оу.

Відповідь: 1) v=2cм/c, cos(,^{^} x)=–1; 2)v=2см/с, cos(,^{^}x)=1.

Задача 6.10. Вважаючи швидкість приземлення літака 400км/год, визначити сповільнення його при приземленні на шляху l=1200м, вважаючи, що сповільнення стале.

Відповідь: а=5,15м/с².