Приклади розв’язання задач

З

Рис.37

адача 1. Тіло масою m=3кг починає рух із стану спокою вздовж гладенької горизонтальної площини під дією сили , значення якої збільшується за закономF=2t. Знайти закон руху тіла і шлях, який пройде це тіло за 3с?

Розв’язання

Оберемо початок відліку в точці О і напрямимо вісь Оx у бік руху тіла (рис.37). Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на тіло:,,. Складемо диференціальне рівняння руху тіла в проекції на вісьх:

або .

Домножимо ліву і праву частину рівності на dt:

.

Проінтегруємо це рівняння:

;

. (1)

Сталу С₁ визначимо з початкових умов: при t=0, x=0, v_x=0.

Підставляючи у рівняння (1) початкові умови, знайдемо, що С₁=0.

Виразимо в рівнянні (1) v_x через :

.

Помноживши ліву і праву частини рівності на dt і проінтегрувавши, маємо:

mdx=t²dt або

Підстановка початкових умов дає С₂=0.

Тоді закон руху тіла: .

Оскільки тіло рухається по горизонтальній площині, то шлях s у момент часу t=3c визначиться:

.

Задача 2. Автомобіль піднімається по шорсткій похилій площині, яка утворює кут α=30⁰ з горизонтом. У початковий момент швидкість автомобіля дорівнювала v₀=20м/с, коефіцієнт тертя f=0,2. Який шлях пройде автомобіль до зупинки? За який час автомобіль пройде цей шлях?

Розв’язання

Н

Рис. 38

апрямимо вісьx вздовж похилої площини вгору (рис. 38). Візьмемо за початок відліку на осі x початкове положення автомобіля. Початкова швидкість напрямлена вздовж осіx вгору. Тоді початкові умови руху мають вигляд: при t=0: x=0, х^/=v₀.

Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на автомобіль ,,_.

Запишемо диференціальне рівняння руху автомобіля в проекціяї на вісь x:

. (1)

Знаючи, що F_тр=fN, а , рівняння (1) перепишемо у вигляді:

(2)

або

.

Домножимо ліву і праву частини рівності на dt і проінтегруємо:

. (3)

Використовуючи початкові умови (при t=0 v=v₀), знаходимо сталу С₁:.

Тоді рівняння (3) запишемо у вигляді:

. (4)

Із диференціального рівняння (4) визначаємо закон руху автомобіля. Помноживши на dt і проінтегрувавши рівність, маємо:

Сталу інтегрування С₂ знаходимо із початкових умов: при t=0: x=0, тому C₂=0.

Рівняння руху автомобіля буде мати вигляд:

(5)

Із рівняння (4) знайдемо час до повної зупинки автомобіля. Оскільки тоді:

.

Шлях, який пройде автомобіль до зупинки, знаходимо із формули (5):

=.

Задача 3. Стрілок стріляє в ціль, що знаходиться від нього по горизонталі на відстані 60м, і при цьому тримає рушницю так, що ціль знаходиться на продовженні лінії дула. На скільки нижче від цілі влучить куля, якщо її швидкість дорівнює 600м/с? Опором повітря знехтувати.

Розв’язання

О

Рис.39

скільки опором повітря нехтуємо, то на кулю діє тільки сила ваги(рис.39).

Складемо диференціальні рівняння руху кулі в проекціях на координатні осі x і y:

т

Початкові умови такі: при t=0: x₀=0, y₀=0, v_0x=600м/с, v_0y=0.

Проінтегруємо диференціальні рівняння незалежно одне від одного:

Підставляючи початкові умови, маємо: C₁=600;

; dх=600dt; x=600t+C₂.

Із початкових умов С₂=0, тоді х=600t.

Підставляємо початкові умови руху кулі, маємо С₃=0, звідки:

або ;

; .

Із початкових умов С₄=0, тоді .

Маючи рівняння руху кулі: , визначимо траєкторію її польоту.

Оскільки то

Отже, траєкторією кулі є парабола. А тепер знайдемо, на скільки куля влучить нижче від цілі:

при x=60м: