Приклади розв’язання задач

З

Рис. 48

адача 1. Пружина має в ненапруженому стані довжину 0,2м. Сила, необхідна для зміни її довжини на 0,01м дорівнює 2Н. З якою швидкістю v вилетить з труби кулька масою 20г, якщо пружина була стиснута до довжини 0,1м? Трубка розташована горизонтально.

Розв’язання

На кульку, яку розглядаємо як матеріальну точку, діють такі сили: сила пружності пружини , сила вагиі реакція стінок(рис. 48). Оскільки рух кульки відбувається по горизонталі, то при його вивченні врахуємо тільки рушійну силу, якою є сила пружностіF= –cx, де с==200Н/м – коефіцієнт жорсткості пружини, х – величина стиснення.

Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії:

,

де А – робота сили пружності на переміщенні М₀М, v₀ – швидкість кульки в положенні М₀, v – її швидкість у положенні М.

Оскільки в положенні кульки М₀ х=0,1м, а в положенні М х=0, то роботу сили пружності знайдемо:

.

Враховуючи, що v₀=0, дістанемо:

,

звідки:

.

Задача 2. При підході до станції потяг йде зі швидкістю 10м/с під ухил, кут якого α=10⁰. У деякий момент часу машиніст починає гальмувати потяг. Опір гальмуванню становить 0,2 ваги потяга. Визначити, на якій відстані й через який час від початку гальмування поїзд зупиниться.

Розв’язання

П

Рис. 49

отяг розглядаємо як матеріальну точку, на яку діють: сила ваги потяга, нормальна реакція дороги, сила опору від гальмування(рис. 49).

Для визначення гальмівного шляху s застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії точки:

;

.

Враховуючи, що потяг зупиняється (v=0), дістанемо:

.

Звідки:

.

Для визначення часу t гальмування скористаємося теоремою про зміну кількості руху точки, обравши напрямок руху потяга за напрямок осі х:

mv_x – mv_0x=S_kx.

Оскільки сили, які діють на потяг, сталі, то:

.

Враховуючи, що v_x=0, v_0x=v₀=10м/с, дістанемо:

– mv₀=mgt(sinα – 0,2),

звідки

.

Задача 3. Візок масою М і довжиною l стоїть на рейках. На лівому кінці візка знаходиться людина масою m, яка в початковий момент часу нерухома, а потім переміщається на правий кінець візка. Визначити величину і напрямок переміщення візка, нехтуючи тертям коліс візка і рейок, а також опором повітря.

Розв’язання

Будемо розглядати візок з людиною як систему. Рух вздовж координатної осі 0х відбувається, як показано на рис.50.

П

Рис. 50

ри відсутності тертя і сили опору повітря зовнішніми силами, які діють на систему, є сили ваги людини і візка, а також нормальні реакції. Тому сума проекцій зовнішніх сил на горизонтальну вісь0х дорівнює нулю. Звідси v_с=const. Оскільки в початковий момент часу система перебувала в спокої, то v_с=0, а значить х_с=const.

За таких умов справедливе рівняння:

МΔх₁+mΔх₂=0,

де Δх₁ переміщення візка, Δх₂ – переміщення людини.

Зобразимо початкове і кінцеве положення системи. Оскільки центр мас системи зберігає своє положення, то при переміщенні людини візок повинен переміститись вліво (рис. 50).

Для простоти обчислення домовимось, що переміщення візка і людини відбулося в одному напрямку. Тоді абсолютне переміщення візка Δх₁=х, а переміщення людини Δх₂=х+l.

Отже, маємо:

Мх+m(x+l)=0,

звідки переміщення візка:

.

Знак „мінус” показує, що фактичне переміщення візка протилежне тому, що вказано на рисунку.

З

Рис. 51

адача 4. По похилій площині KL призми DEKL рухається вантаж А масою т_А=8кг, який приводить у рух за допомогою неростяжної невагомої мотузки вантаж В масою m_В=5кг. Знайти переміщення призми DEKL масою m_пр=14кг по ідеально гладенькій площині, якщо вантаж А перемістився по похилій площині KL вниз на 1м. У початковий момент система перебувала в спокої (рис. 51).