Приклади розв’язання задач

Задача 1. Зрушуючи з місця, трамвай рухається спочатку по прямолінійній ділянці шляху, збільшуючи свій шлях пропорційно квадрату часу s=kt² (t – в секундах, s – в метрах). Протягом першої хвилини він пройшов шлях s=600м. Визначити швидкість і прискорення в момент часу t=3с.

Розв’язання

Звернемо увагу на те, що трамвай рухається поступально, тому досить вивчити рух будь-якої точки трамваю.

За умовою задачі закон руху точки описується рівністю: s=kt².

Визначимо коефіцієнт k скориставшись тим, що протягом t=1хв=60с точка пройшла шлях s=600м:

.

Отже, закон руху точки має вигляд: (м).

Швидкість знайдемо за формулою: v==.

У момент часу t=3c: .

Оскільки за умовою задачі рух відбувається по прямолінійній ділянці, то:

а_п==0, тодіа_τ=.

Задача 2. З моменту виключення електродвигуна його ротор, що обертався з частотою n=1200об/хв, зробив до зупинки N=100обертів. Скільки часу минуло з моменту виключення електродвигуна, якщо вважати обертання ротора рівносповільненим.

Розв’язання

Оскільки рух ротора рівносповільнений, то в цьому випадку застосуємо рівняння рівнозмінного обертального руху:

φ= ω₀t +; (1)

ω= ω₀+ εt. (2)

З іншого боку:

; (3)

Оскільки кінцева кутова швидкість , то з формули (2) визначимо:

ε=, тодіφ=.

Отже, 2πN=.

Враховуючи, що , знайдемоt:

(c).

Задача 3. Обертання диска навколо нерухомої осі відбувається за рівнянням (φ – в радіанах, t – в секундах). Визначити кутову швидкість ω та кутове прискорення ε диска в момент часу t=2c.

Розв’язання

Визначимо кутову швидкість диска:

(с^–1).

При t=2c: ω=10t–10=10·2–10=10(c^–1).

Визначимо кутове прискорення диска:

(с^–2).

Питання для самоконтролю

1. Дати означення поступальному руху твердого тіла. Навести приклади.

2. Сформувати теорему про траєкторії, швидкості та прискорення точок тіла у його поступальному русі.

3. Дати означення обертальному руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Навести приклади.

4. Яким рівнянням описується обертальний рух тіла?

5. Що характеризує кутова швидкість тіла?

6. Дати означення середній кутовій швидкості та кутовій швидкості в даний момент часу.

7. Чому дорівнює кутова швидкість тіла в даний момент часу? Одиниці її вимірювання.

8. Що характеризує кутове прискорення тіла?

9. Дати означення середньому кутовому прискоренню тіла та кутовому прискоренню в даний момент часу.

10. Чому дорівнює кутове прискорення тіла в даний момент часу? Одиниці вимірювання.

11. Записати рівняння рівномірного та рівнозмінного обертальних рухів.

12. Як визначаються за величиною та напрямком лінійні швидкості точок тіла, що здійснює обертальний рух?

13. Як визначаються прискорення точок тіла, що обертається навколо нерухомої осі?

14. Який напрямок мають дотичне і нормальне прискорення.

Задачі для самостійного розв’язання

Задача 7.1. Визначити кутову швидкість: 1) секундної стрілки годинника; 2) хвилинної стрілки годинника; 3) годинної стрілки годинника; 4) обертання Землі навколо осі, вважаючи, що Земля робить один оберт за 24 години; 5) парової турбіни Лаваля, що робить 15000 об/хв.

Відповідь: 1); 2); 3); 4); 5).

Задача 7.2. Написати рівняння обертання диска парової турбіни при пуску в хід, якщо відомо, що кут повороту пропорційний кубу часу і при t=3с кутова швидкість диска дорівнювала .

Відповідь: φ=πt³ рад.

Задача 7.3. Маятник відцентрового регулятора обертається навколо вертикальної осі АВ і робить 120об/хв. У початковий момент кут повороту дорівнює . Знайти кут повороту і кутове переміщення маятника за часt=0,5с.

Відповідь: ;∆φ=2π рад.

Задача 7.4. Тіло, починаючи обертатися рівноприскорено із стану спокою, робить 3600обертів у перші 2хвилини. Визначити кутове прискорення.

Відповідь: ε=π .

Задача 7.5. Вал починає обертатися рівноприскорено із стану спокою; в перші 5с він здійснює 12,5 обертів. Яка його кутова швидкість по проходженні 5с?

Відповідь: ω=10π .

Задача 7.6. Махове колесо починає обертатися із стану спокою рівноприскорено; через 10хв після початку руху воно має кутову швидкість . Скільки обертів зробило колесо за ці 10хв?

Відповідь: N=600обертів.

Задача 7.7. З моменту виключення мотора пропелер літака, який обертався з кутовою швидкістю , зробив до зупинки 80обертів. Скільки часу пройшло з моменту виключення мотора до зупинки, якщо вважати обертання пропелера рівносповільненим?

Відповідь: 8с.

Задача 7.8. Визначити швидкість v і прискорення а точки, що знаходиться на поверхні Землі в Санкт-Петербурзі, беручи до уваги тільки обертання Землі навколо своєї осі; широта Санкт-Петербурга , радіус Землі 6370км.

Відповідь: v=232м/с, а=0,0169м/с².