Короткі теоретичні відомості

Динамікою називається розділ механіки, в якому рух матеріальних тіл вивчається з урахуванням сил, що діють на них.

У кінематиці розглядаються три способи задання руху точки: векторний, координатний і натуральний. У зв’язку з цим, базуючись на другому законі динаміки, виводяться диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній та натуральній.

Рівняння у векторній формі. Із кінематики відомо, що рівняння руху точки у векторній формі має вигляд:

,

де – радіус-вектор, який визначає положення точки в будь-який момент часу.

Прискорення точки дорівнює:

Підставляючи це значення у формулу для визначення сили, маємо:

.

Ця рівність називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі. Якщо на точку діє декілька сил, то:

Рівняння в координатній формі. Рух точки в прямокутних декартових координатах задається рівняннями:

Знайдемо рівняння, які пов’язують координати x, y, z цієї точки і силу (або сили), що діє на неї. Ці рівняння дає другий закон динаміки.

Розглянемо матеріальну точку, яка рухається під дією сил ,, ...,по відношенню до інерціальної системи відлікуOxyz. Проектуючи обидві частини рівності на осіx, y, z і враховуючи, що ,та, дістаємо:

або, позначаючи другі похідні за часом двома штрихами, маємо:

Це і є диференціальні рівняння руху точки в прямокутних декартових координатах.

Оскільки діючі на точку сили можуть залежати від часу t, від координат x, y, z і від швидкості, тобто v_x=x', v_y=y', v_z=z', то в загальному випадку права частина кожного рівняння може бути функцією всіх цих змінних, тобто, t, x, y, z, x', y', z' одночасно.

Рівняння в натуральній формі. Для того щоб дістати ці рівняння, спроектуємо обидві частини рівності на осі натурального тригранникаМτnb, тобто на дотичну Мτ до траєкторії точки, головну нормаль Мn, напрямлену в бік угнутості траєкторії, і бінормаль Мb. Тоді, враховуючи, що:

дістаємо:

Ці рівняння, де , єдиференціальними рівняннями руху точки в натуральній формі.

На основі диференціальних рівнянь руху матеріальної точки можна розв’язати такі основні задачі її динаміки:

1) перша задача (пряма): визначення величини і напрямку сили, яка діє на точку, знаючи масу точки і закон її руху;

2) друга задача (обернена, основна): знаходження закону руху точки, якщо відомі маса точки і сили, що діють на неї.

Розглянемо загальну методику розв’язання першої задачі динаміки точки. Воно здійснюється у такій послідовності:

1) диференціювання двічі за часом функцій, які виражають кінематичний закон руху точки;

2)підставлення результатів диференціювання у відповідні диференціальні рівняння й отримання з них значень проекцій сил;

3) визначення модуля сили і косинусів кутів, які визначають напрямок сили (за формулами, відомими із векторної алгебри).

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Матеріальна точка m=1кг здійснює рух згідно рівнянь: x=2t²+3, y=t³+1, z=t²–2, причому координати точки виражені в метрах, час – в секундах. Визначити величину та напрямок сили, яка діє на точку в момент часу t=1c.