Приклади розв’язання задач

Задача 1. Визначити реакції опор А і В балки, зображеної на рисунку, яка перебуває під дією двох зосереджених сил =200кН та =100кН і рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю q=2кН/м (рис. 13).

Розв’язання

У цій задачі розглядаємо рівновагу балки.

Обираємо систему координат. Оскільки в точці А балка закріплена шарнірно, то напрямок реакції відразу визначити не можна, тому зобразимо її двома складовими і. ОпораВ обмежує свободу руху тільки в одному напрямку, тому напрямок реакції відомий: вгору по вертикалі.

Замінимо рівномірно розподілене навантаження зосередженою силою і визначимо її числове значенняQ=l·q=2·2=4(кН).

Рис. 13

Оскільки невідомих величин у цій задачі три, то необхідно скласти і три рівняння рівноваги:

; (1)

; (2)

. (3)

З рівняння (1) знаходимо: (кН).

З рівняння (3) визначаємо :

(кН).

З рівняння (2) маємо Y_A:

(кН).

Задача 2. Однорідна балка АВ вагою Р=1000Н закріплена в точці А шарніром (рис.14). Інший кінець В утримується тросом за допомогою вантажу Q. Знайти вагу вантажу Q і реакцію шарніра в положенні рівноваги, якщо точка С лежить на одній вертикалі з точкою А, АВ=АС=ВС, вага вантажу Р₁=1500Н. Тертям у блоці знехтувати.

Розв’язання

Р

Рис.14

озглянемо рівновагу балкиАВ. Вона перебуває під дією сил: – ваги балки, прикладеної до її середини;– ваги підвішеного в точціВ вантажу; – реакції частиниВС троса, яка дорівнює вазі вантажу, – реакції шарніраА. Оскільки напрямок реакції шарніра А наперед невідомий, тому розкладаємо її на складові – горизонтальну і вертикальну. Отже, сили,,,,утворюють довільну плоску систему сил, умовами рівноваги якої є:

, , .

Оберемо координатні осі з початком у точці А. За центр моментів сил оберемо точку А, оскільки в ній перетинаються лінії дії двох шуканих сил і. Тоді маємо:

;

;

У процесі обчислення дістанемо:

(Н);

(Н);

(Н).

Питання для самоконтролю

1. Сформулювати та довести теорему про паралельне перенесення сили.

2. Сформулювати та довести теорему про зведення системи сил до даного центра.

3. Дати означення головному вектору та головному моменту системи сил.

4. Умови рівноваги довільної плоскої системи сил.

5. Сформулювати та довести теорему Варіньйона про момент рівнодійної.

6. До якого найпростішого вигляду зводиться плоска система сил, яка не перебуває у рівновазі?

7. Аналітичні умови рівноваги довільної плоскої системи сил.

Задачі для самостійного розв’язання

До задачі 3.1

Задача 3.1. Однорідна балка вагою 600Н і довжиною 4м спирається одним кінцем на гладеньку підлогу, а проміжною точкою В на стовп заввишки 3м, утворюючи з вертикаллю кут . Балка утримується в такому положенні мотузкоюАС, протягненою по підлозі. Нехтуючи тертям, визначити натяг мотузки Т і реакції стовпа іпідлоги.

В

До задачі 3.2

ідповідь: Т=150Н, R_В=173Н, R_С=513Н.

Задача 3.2. До гладенької стіни приставлена однорідна драбина АВ під кутом до горизонту; вага драбини200Н; у точці D на відстані, що дорівнює 1/3 довжини драбини від нижнього кінця, знаходиться людина вагою 600Н. Визначити силу тиску драбини на опору А і на стінку.

Відповідь: X_A=300H, Y_A= – 800H, Х_В= – 300H.

З

До задачі 3.3

адача 3.3. Визначити реакції опор А і В балки, що перебуває під дією двох зосереджених сил і рівномірно розподіленого навантаження. Інтенсивність розподіленого навантаження, величини сил і розміри вказані на рисунку.

Відповідь: X_A=2,6кН, Y_А=4,2кН, Х_В=15,6кН.

З

До задачі 3.4

адача 3.4. Визначити реакції защемлення консольної балки, що перебуває під дією рівномірно розподіленого навантаження, однієї зосередженої сили і двох пар сил.

Відповідь: X=11,8кН, Y= – 2,8кН, М= – 86,8кН∙м.

З

До задачі 3.5

адача 3.5. Однорідна плита АВ вагою Р=100Н вільно спирається в точці А і утримується під кутом до горизонту двома стержнямиBC і BD. BCD – рівносторонній трикутник. Точки C і D лежать на вертикальній прямій CD. Нехтуючи вагою стержнів і вважаючи закріплення в точках B, C і D шарнірним, визначити реакцію опори А і зусилля в стержнях.

Відповідь: R_A=35,4H, S_C=89,5H, S_D= – 60,6H.

З

До задачі 3.6

адача 3.6. Однорідна балка АВ вагою Р=100Н прикріплена до стінки шарніром А і утримується під кутом до вертикалі за допомогою троса, який перекинутий через блок і несе вантажG. Частина ВС троса утворює з вертикаллю кут . У точціD до балки підвішено вантаж Q вагою 200Н. Визначити вагу вантажу G і реакцію шарніра А, нехтуючи тертям в блоці, якщо BD=АB.

В

До задачі 3.7

ідповідь: G=146H, X_A=73Н, Y_A=173H.

Задача 3.7. Кран для підйому вантажу складається із балки АВ, нижній кінець якої з’єднаний зі стінкою шарніром А, а верхній утримується горизонтальним тросом ВС. Визначити натяг Т троса ВС і тиск на опору А, якщо відомо, що вага вантажу Р=2кН, вага балки АВ дорівнює 1кН і прикладена посередині балки, а кут .

Відповідь: Т=2,5кН, X_A= – 2,5кН, Y_A= – 3кН.

До задачі 3.8 До задачі 3.9

Задача 3.8. Визначити реакції опор А і В балки, яка перебуває під дією однієї зосередженої сили і пари сил. Навантаження і розміри вказані на рисунку.

Відповідь: X_A=2кН, Y_A= – 4,32кН, Y_В=7,78кН.

Задача 3.9. Визначити реакції защемлення консольної балки, яка перебуває під дією рівномірно розподіленого навантаження, зосередженої сили і пари сил.

Відповідь: X=2,8кН, Y=1,7кН, М= – 5,35кН∙м.