7. Еквіпотенциальні поверхні

Для наочного графічного зображення поля замість ліній напруженості поля зручно використовувати поверхні однакового потенціалу (еквіпотенциальні поверхні).

Еквіпотенциальні поверхні– це поверхні, у всіх точках яких потенціалмає однакове значення.

Рис. 4

Точковий заряд: лінії вектора іеквіпотенціальніповерхні (див. рис. 4).

Вектор : 1) завжди перпендикулярнийеквіпотенціальнимповерхням;

2) завжди направлений у бік убування потенціалу.

Еквіпотенциальні поверхні зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між двома сусідніми еквіпотенціальнимиповерхнями були однаковими. Тоді густинаеквіпотенціальнихповерхонь наочно характеризує напруженість поля в різних точках: там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більше.

Якщо поле створюється точковим зарядом, то лінії напруженості – радіальні прямі, що виходять із заряду, якщо він позитивний, і входять в нього, якщо заряд негативний .

Лекція 05 Теорема Остроградського-Гаусса

Перед розглядом цієї теореми слід зробити деякі попередні зауваження.

Хоча закон Кулона і принцип суперпозиції полів дають можливість визначати вектор напруженності електричного поля будь-якої системи зарядів, проте це пов'язано з досить громіздкими обчисленнями. Для спрощення цієї задачі слід скористатись деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля, однією з яких і є теорема Остроградського-Гаусса, яка дає можливість відмовитись від теорії далекодії (саме на ній базується закон Кулона) і звести рівняння електростатики до диференціальної форми і, таким чином, узгодити їх з теорією близькодії.

Теорема Остроградського-Гаусса пов'язує потік вектора (або векторакрізь довільну замкнену поверхню з зарядом, який охоплюється цією поверхнею. Для виведення цієї теореми слід ввести поняттяпотоку.

Потік вектора . Число ліній напруженості електричного поля , що пронизують елементарну площадку dS, дорівнює

де – проекція векторана нормальдо площадки dS (рис.1).

Рис. 1

Величина

– це потік вектора напруженості крізь площадку dS, – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрям вектора співпадає з напрямом нормалі до площадки.

Потік вектора крізь довільну замкнену поверхнюS:

Потік вектора – цеалгебраїчна величина (залежить від конфігурації поля і від вибору напряму).

Теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі

Потік вектора крізь сферичну поверхню радіусу r дорівнює:

.

Цей результат справедливий для замкненої поверхні будь-якої форми. Так, якщо оточити сферу (див. рис. 2) довільною замкненою поверхнею, то кожна лінія напруженості, яка пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.

Рис. 2

Загальний випадок: довільна поверхня, що охоплює n зарядів. Відповідно до принципу суперпозиції напруженість поля, створюваного всіма зарядами, дорівнює сумі напруженостей, створюваних кожним зарядом окремо:=. Тому неважко показати, що

.

Теорема Остроградського-Гаусса для поля у вакуумі. Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі поміщених усередині цієї поверхні зарядів, ділених на :

.

Якщо заряд розподілений в просторі з об'ємною густиною ,то теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі матиме вид:

.

Застосування теореми Остроградського-Гаусса до розрахунку полів у вакуумі