2. Потік вектора магнітної індукції. Теорема Остроградського-Гаусса для поля в

Потік вектора магнітної індукції (магнітний потік) крізь площадку dS – це скалярна фізична величина

,

де – проекція вектора на напрям нормалі до площадки dS ( – кут між векторами і ), – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрям співпадає з напрямом до площадки.

Знак потоку залежить від cos. Потік вектора пов'язують з контуром, по якому тече струм. А тоді позитивний напрям нормалі визначено (він зв'язується із струмом правилом правого гвинта). Магнітний потік, створюваний контуром через поверхню, обмежену ним самим, завжди позитивний.

Магнітний потік крізь довільну поверхню s

.

Якщо поле однорідне, поверхня плоска і перпендикулярна вектору В, то тоді

Ф_В = BS.

Одиниця – Вб. 1 Вб (вебер) – це магнітний потік, що проходить через плоску поверхню площею 1 м², розташовану перпендикулярно однорідному магнітному полю, індукція якого дорівнює 1 Тл.

Теорема Остроградського-Гаусса для поля В. Потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю:

.

Ця теорема відображає факт відсутності магнітних зарядів, наслідком чого є той факт, що лінії магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця і є замкненими.

3. Закон Біо-Савара-Лапласа та приклади його застосування (визначення індукції магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом і магнітне поле в центрі кругового струму)

Магнітне поле постійних струмів вивчалось французькими вченими Ж. Біо і Ф. Саваром і результати проведених дослідів були узагальнені П.Лапласом.

Для провідника з струмом , елементякого створює в довільній точціА (рис. 9.3) індукцію , матимемо:

,

де – радіус-вектор, проведений з елементапровідника в точкуА.

Рис. 9.3

Зазначимо, що іі направлений вздовж дотичної до лінії магнітної індукції. Напрямвизначають поправилу правого гвинта: напрям обертання головки гвинта дає напрям , якщо поступальний рух гвинта відповідає напряму струму в елементі

, (1)

де – кут між векторами і.

Розглянемо 2 приклади застосування цього закону.

1. Магнітне поле прямолінійного провідника зі струмом (рис. 9.4). Такий струм створюється нескінченно довгим тонким провідником.

Рис. 9.4

Оскільки для такого провідника, як видно з рис. 9.4

, ,

то підставивши ці залежності в формулу (1), отримаємо

.

Кут для всіх елементів прямого проводу змінюється від 0 до. Тоді

.

2. Контур зі струмом в магнітному полі. Магнітний момент струму. Обчислимо магнітну індукцію кругового витка зі струмом на відстані від його центра (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Кожний елемент струму, наприклад елемент 1, створює у точці А магнітну індукцію поля . Індукція двох елементів, розташованих один напроти одного (1 і 2), додається і утворює магнітну індукцію , направлену уздовж осі, і отже, саме туди направлена і результуюча індукція В. Проекція , на напрямок В визначається як

=

Оскільки , то, скорис­тавшись (1), при матимемо

=

Загальна магнітна індукція

, (2)

де – площа, що охоплюється струмом;– магнітний момент струму (за аналогією з електричним моментом диполя. У векторному запису, де– одиничний вектор, направлений уздовж нормалі до.

З формули для В видно, що магнітна індукція кругового струму зменшується з відстанню пропорційно до 2³, як і напруженість електричного поля диполя.

3. Магнітна індукція в центрі кругового контуру зі струмом (рис. 9.6) може бути отримана і безпосередньо. Як видно з рисунка, всі елементи такого провідника створюють в центрі магнітні поля одного і того ж самого напрямку – вздовж нормалі до витка. Тому (як і в попередньому прикладі) додавання векторів можна замінити додаванням їх модулів.

Рис.

Оскільки всі елементи провідника перпендикулярні () і відстань всіх елементів провідника до центра кругового струму однакова і дорівнює, то

і, отже,

.

Цей самий результат можна безпосередньо отримати і з загальної формули (2).