2. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі та його дослідження

Для однорідного і ізотропного середовища вектори напруженостей ізмінного електромагнітного поля задовольняють хвильовому рівнянню типу:

(1)

(2)

де – оператор Лапласа;– фазова швидкість.

Всяка функція, яка задовольняє рівнянням (1) і (2), описує певну хвилю, Отже, електромагнітні поля дійсно можуть існувати у виді електромагнітних хвиль. При цьому

, (3)

де ,і– відповідно електрична і магнітна сталі,і– відповідно електрична і магнітна проникності середовища.

В вакуумі () швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістюс; в речовині і томушвидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в речовині завжди менша, ніж в вакуумі.

Як наслідок з рівнянь Максвелла витікає поперечність електромагнітних хвиль: вектори напруженостей ізмінного електромагнітного поля взаємно перпендикулярні (на рис. 18.1 показана моментальна "фотографія" плоскої електромагнітної хвилі ) і лежить в площині , перпендикулярній векторушвидкості розповсюдження хвилі, причому вектори,істворюють правогвинтову систему.

Рис. 18.1

З рівнянь Максвелла також випливає, що в електромагнітній хвилі вектори ізавжди коливаються в однакових фазах (див. рисунок), причому миттєві значенняів будь-якій точці зв'язані між собою співвідношенням:

. (4)

Отже, іодночасно досягають максимуму, обертаються в нуль і т. д.

Від рівнянь (1) і (2) можна перейти до наступних рівнянь:

яким задовольняють, зокрема, плоскі монохроматичні електромагнітні хвилі, тобто електромагнітні хвилі однієї строго визначеної частоти, які описуються рівняннями:

де і– відповідно амплітуди напруженостей електричного і магнітного поля хвилі;– кругова частота хвилі;– хвильове число;– початкові фази коливань в точці з координатою. Зазначимо, що в цих рівнянняходнакове, оскільки коливання електричного і магнітного векторів в електромагнітній хвилі відбуваються з однаковою фазою (див. також рис. 1.18).

3. Енергія електромагнітних хвиль (об'ємна густина, потік, вектор Умова-Пойнтінга)

Можливість виявлення електромагнітних хвиль вказує на те, що вони переносять енергію. Об'ємна густина енергії електромагнітної хвилі складається з об'ємних густиніелектричного і магнітного полів:

.

З врахуванням (4) отримаємо, що густини енергії електричного і магнітного полів в кожний момент часу однакові, тобто =. Тому

.

Якщо помножити густину енергії нашвидкість розповсюдження хвилі в середовищі (3), отримаємо модуль густини потоку енергії:

.

Оскільки вектори івзаємно перпендикулярні і створюють з напрямом розповсюдження хвилі правогвинтову систему, то напрям вектора співпадає з напрямом перенесення енергії, а модуль вектора дорівнює .

Вектор густини потоку енергії називається вектором Умова-Пойнтінга:

.

Вектор Умова-Пойнтінга направлений в сторону розповсюдження електромагнітної хвилі, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напряму розповсюдження хвилі.