4. Мікрочастинка в одновимірній прямокутній "потенційній ямі" з нескінченно високими "стінками"

Нехай мікрочастинка рухається вздовж осі в "ямі", яка описується потенціальною енергією виду (рис. 25.1):

де – ширина ями, енергія відлічується від її дна.

Рис. 25.1

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів в межах ями (0 < х < l) має такий вид:

Розв'язок рівняння

.

Граничні умови

З отримаємо

,

а виконується лише при .

Власні функції:

.

Нормовані власні функції:

.

На рис. 25.2 зображені графіки власних функцій , а також густина вірогідності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, яка визначається виразом

.

Власні значення енергії

,

– головне квантове число.

Рис. 25.2

5. Проходження частинки через потенціальний бар'єр прямокутної форми. Тунельний ефект

Розглянемо найпростіший потенціальний бар'єр прямокутної форми (рис. 25.3, а) для однорідного по осі х руху частинки. Для потенціального бар'єра прямокутної форми висоти і шириниможна записати:

Рис. 25.3

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів для кожної з виділених на рис. 25.3, а областей має вид:

Загальний розв'язок цих рівнянь

Аналіз розв'язків для різних областей

Область 1: повна хвильова функція

,

де перший член – плоска хвиля, що розповсюджується в позитивному напрямі осі х (відповідає частинці, що рухається у бік бар'єру), а другий – хвиля, що розповсюджується в протилежному напрямі, тобто відбита від бар'єру (відповідає частинці, що рухається від бар'єру наліво).

Область 2: розв'язок залежить від співвідношень (енергія частинки менша, ніж висота потенціального бар'єру) чи(енергія частинки більша, ніж висота потенціального бар'єру). Фізичний смисл має розв'язок , оскільки закони класичної фізики не дозволяють частинці проникнути крізь бар'єр.

Область 3: в області 3 є лише хвиля, яка пройшла крізь бар'єр і яка розповсюджується зліва направо, тому у формулі дляслід прийняти рівним нулю.

Маючи розв'язки рівнянь, розглянемо проходження частинки крізь потенційний бар'єр.

Якщо енергія частинки менше висоти потенційного бар'єру, то поклавши в формулі для , справедливій для області 2,, де

а також врахувавши, що у формулі длядорівнює нулю, розв'язок рівнянь Шредінгера для трьох областей можна представити в такому вигляді:

В області 2 функція вже не відповідає плоским хвилям (показники експонент дійсні). Можна показати, що для високого і широкого бар'єру.

Вид функцій ,і(з урахуванням того, що ) показано на рис. 25.3, б. Хвильова функція не дорівнює нулю і усередині бар'єру, а в області 3 (у випадку не дуже широкого бар'єру) має вид хвиль де Бройля з тією ж самою довжиною хвилі, але меншою амплітудою.

Таким чином, частинка має відмінну від нуля вірогідність проходження крізь потенційний бар'єр кінцевої ширини.

Квантова механіка приводить до специфічного квантового ефекту – тунельного ефекту, в результаті якого мікрооб'єкт може "пройти" крізь потенційний бар'єр.

Для опису тунельного ефекту використовують поняття коефіцієнта прозорості тунельного ефекту,який визначають як відношення густини потоку частинок, що пройшли, до густини потоку падаючих частинок.

В наближенні цей коефіцієнт має такий вираз:

,

де – постійний множник, який зазвичай приймається таким, що дорівнює одиниці.

З цього виразу видно, що коефіцієнт прозорості сильно залежить від маси т частинки, ширини бар'єру і від; чим ширше бар'єр, тим менше вірогідність проходження крізь нього частинки.