4. Рівняння плоскої та сферичної хвиль

Плоска хвиля– це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних площин, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.

Сферична хвиля– це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних концентричних сфер, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується уздовж позитивного напряму осіх, має такий вид:

_,

де позначено: – зміщення точок середовища з координатоюху момент часу;А– амплітуда хвилі;– циклічна (кругова) частота;– хвильове число;– довжина хвилі;– фазова швидкість;– період коливань;– початкова фаза коливань.

Розглянемо поняття фазової швидкості. Щоб визначити це поняття, припустимо, що фаза хвилі постійна, тобто

і продиференціюємо цей вираз по t. Тоді отримаємо

,

де v є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, яку називають фазовою швидкістю.

Зазначимо, що з виразу для хвильового числа , що фазова швидкість. Якщо фазова швидкість хвиль в середовищі залежить від частоти, то це явище називаютьдисперсією хвиль, а середовище, в якому спостерігається дисперсія хвиль,диспергуючим середовищем.

Рівняння сферичної хвилімає вид:

,

де – відстань від центру хвилі до даної точки середовища.

4. Хвильове рівняння пружної хвилі

Диференціальне рівняння в частинних похідних, яке описує розповсюдження хвиль в однорідному ізотропному середовищі, має такий вид:

,

де – оператор Лапласа;– фазова швидкість.

Розв'язок хвильового рівняння – це є рівняння будь-якої хвилі. Хвильове рівняння для плоскої хвилі, що розповсюджується уподовж осі :

.

Принцип суперпозиції (накладення) хвиль: при розповсюдженні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна з них розповсюджується так, як ніби інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинки середовища у будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які отримують частинки, що беруть участь в кожному з складників хвильових процесів.

Виходячи з принципа суперпозиції і розкладення в ряд Фур'є будь-яка хвиля може бути представлена у вигляді суми гармонічних хвиль, тобто пакета, або групи хвиль.

Хвильовим пакетомназивається суперпозиція хвиль, що мало розрізняються одна від одної за частотою, яка займає в кожний момент часу обмежену область простору.

Введемо поняття групова швидкість. Групова швидкість – це швидкість руху групи хвиль, які створюють в кожний момент часу локалізований в просторі хвильовий пакет, або швидкість руху центру хвильового пакету. Групова швидкість виражається залежністю:

.

Зв'язок групової і фазової швидкостей такий:

,

або

.

В недиспергуючому середовищі, тобто середовищі, в якому фазова швидкість хвиль не залежить від їх частоти, і.

Поглинання хвиль.Поглинання хвиль– це перетворення енергії пружних хвиль в інші види енергії внаслідок внутрішнього тертя і теплопровідності під час розповсюдження хвиль в середовищі. Амплітудаі інтенсивністьплоскої хвилі, що розповсюджується вздовж позитивного напряму осі, змінюються за експоненціальним законом:

і,

де і– амплітуда і інтенсивність хвилі в точці;– лінійний коефіцієнт поглинання пружних хвиль, який залежить від властивостей середовища і частоти хвилі.

ЛЕКЦІЯ 17