3. Вимушені електромагнітні коливання, диференціальне рівняння і його розв'язок і характеристики

Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої напруги , що періодично змінюється.

Закон Ома для контура з R, L, С. З урахуванням прикладеної напруги

,

де – напруга на резисторі;– напруга на конденсаторі;– е.р.с. самоіндукції;.

Отже

.

Для виведення диференціального рівняння розділимо останнє рівняння на і підставимо,,;. В результаті отримаємо

;

Це рівняння має такий розв'язок:

,

де ;;– зсув по фазі між зарядом і прикладеною напругою.

Сила струму у разі сталих коливаньдорівнюватиме:

,

де

.

Таким чином, сила струму має такий вид:

де – зсув по фазі міжструмом і прикладеною напругою. Тоді можна показати, що

.

4. Електричний резонанс і його використання в техніці

Розрізняють резонанс напруг і резонанс струмів. Розглянемо ці види резонансу докладніше.

Резонанс напруг (послідовний резонанс) може мати місце в колі змінного струму, що містить послідовно включені резистор, котушку індуктивності та конденсатор (див. рис. 15.2)

Рис. 15.2

Як видно з цього рисунка кут зсувувизначає різницю фаз між струмом і напругою

.

З прямокутного трикутника випливає, що

,

звідки амплітудне значення сили струму

.

Якщо напруга в електричному колі змінюється по закону , то струм в цьому колі буде такий:

.

Величина

називається повним опором (імпедансом), а величина

(2)

реактивним опором.

Якщо в електричному колі з послідовно ввімкненими R, L, С

,

то, згідно з формулою

кут зсуву фаз між струмом і напругою стає таким, що дорівнює нулю: змінювання струму і напруги відбуваються синфазно. Умові (2) задовольняє резонансна частота:

.

В даному випадку повний опір Z = R і тому струм електричного кола визначається лише активним опором, приймаючи максимальні (можливі при даному ) значення.

Резонанс напруг – це явище різкого зростання амплітуди сили струму в контурі при збігу циклічної частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою 0 коливального контура.

Резонанс виразно проявляється лише при малому активному опорі контура (див. рис. 15.3).

Рис. 15. 3

У випадку резонансу напруг , тобто однакові по амплітуді і протилежні по фазі (див. рис. 15.4).

Рис. 15.4

Резонанс струмів (паралельний резонанс). Цей резонанс може відбутися в колі змінного струму, що містить паралельно ввімкнені конденсатор ємністю С і котушку індуктивністю L (див. рис. 15.5).Прикладена до кола напруга U = U_m cost. Активним опором обох гілок нехтуємо.

Рис. 15.5

Гілка 1 (в ній протікає струм І₁)

(враховано, що R = 0 і L = 0).

,

, де n = 1, 2, ... .

Гілка 2 (в ній протікає струм І₂)

(враховано, що R = 0 і C = ).

,

, де n = 1, 2, ... .

Різниця фаз струмів в гілках: , тобто струми в гілках протилежні по фазі. Амплітуда сили струму в зовнішньому (нерозгалуженому) колі

.

Якщо , тоі.

Резонанс струмів (паралельний резонанс) – це явище різкого зменшення амплітуди сили струму в зовнішньому ланцюзі, що живить паралельно включені конденсатор і катушку індуктивності, при наближенні частоти з прикладеної напруги до резонансної частоти з .

Амплітуда сили струму виявилася рівною нулю, тому що активним опором контура нехтуємо. Якщо врахувати опір R, то різниця фаз не буде дорівноювати , тому при резонансі струмів амплітуда сили струму буде відмінна від нуля, але прийме якнайменше можливе значення.

Автоколивання. Параметричний резонанс. Їх використання в техніці

В техніці в ряді випадків важливо підтримувати коливання незгасаючими. Для цього необхідно заповнювати втрати енергії реальної коливальної системи. Це досягається шляхом неперервного поповнення втрат в такій системі. Особливо важливими і широко застосовуваними в практиці є так звані автоколивання – незгасаючі коливання, які підтримуються в дисипативній системі за рахунок постійного діючого зовнішнього джерела енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою.

Автоколивання принципово відрізняються від вільних незгасаючих коливань, що відбуваються без дії сил, а також від вимушених коливань, що відбуваються під дією періодичної сили. Автоколивальна система сама управляє зовнішніми діями, забезпечуючи узгодженість надходження енергії певними порціями в потрібний момент часу (в такт з її коливаннями).

Приклад автоколивальної системи – годинник, у якого храповий механізм підштовхує маятник в такт з його коливаннями. Енергія, що передається при цьому маятнику, поповнюється або за рахунок пружини, що розкручується, або за рахунок вантажу, що опускався. Коливання повітря в духових інструментах і органних трубах також виникають внаслідок автоколивань, підтримуваних повітряним струменем.

Автоколивальними системами є також двигуни внутрішнього згоряння, парові турбіни, ламповий генератор та ін.

Лекція 16