Рівняння Максвелла

1. Аналіз явища електромагнітної індукції. Вихрове електричне поле. Циркуляція вектора напруженості вихрового електричного поля

Згідно з гіпотезою Максвелла будь-яке змінне магнітне поле збуджує в оточуючому просторі електричне поле, яке і є причиною виникнення індукованого струму в контурі.

При цьому контур, в якому з'являється е. р. с., відіграє лише другорядну роль – фактично він є лише "приладом", який знаходить це поле.

Таким чином, змінюване в часі магнітне поле породжує електричне поле , циркуляція якого

, ^(*)

де – проекція векторана напрям.

Зазначимо, що електричне поле в загальному випадку може бути як потенціальним (), так і вихровим (), і тому=+. Оскільки циркуляція векторадорівнює нулю (як потенціального поля), то ми й отримуємо^(*).

Підставивши в цю залежність , отримаємо

. (1)

Останнє рівняння записано з урахуванням того, що у випадку нерухомої поверхні і контуру операції диференціювання і інтегрування можна поміняти місцями; символ частинної похідної підкреслює той факт, що інтеграл є функцією лише часу.

Таким чином, циркуляція вектора не дорівнює нулю, тобтоелектричне поле , яке збуджується змінним магнітним полем, як і саме магнітне поле, є вихровим.

Рівняння (1) – це перше рівняння Максвелла. Воно показує, що джерелами електричного поля можуть бути не лише електричні заряди, а й змінювані в часі магнітні поля.

Симетрія у взаємозалежності електричних і магнітних полів. Згідно з Максвеллом, якщо всяке змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі вихрове електричне поле, то повинно існувати і зворотне явище: всяке змінювання електричного поля повинно викликати появу в навколишньому просторі вихрового магнітного поля.

2. Струм зміщення. Закон повного струму. Друге рівняння Максвелла

Струм зміщення, введений Максвелом, необхідний для встановлення кількісних співвідношень між змінюваним електричним полем і викликаним ним магнітним полем.

По Максвелу, в колі змінного струму, що містить конденсатор, змінне електричне поле в конденсаторі в кожний момент часу створює таке магнітне поле, неначебто між обкладинками конденсатора існує струм зміщення, який дорівнює струму в проводах, що підводяться до конденсатора. Тоді можна стверджувати, що струми провідності (І) і зміщення (І_зм) дорівнюють один одному: І_зм = І.

Струм провідності поблизу обкладинок конденсатора

.

Тут враховано, що поверхнева густина заряду на обкладинках дорівнює електричному зміщеннюD в конденсаторі.

Сила струму крізь довільну поверхню S може бути визначена як потік вектора густини струму:

І =.

Тоді І = І_зм = . Порівнявши цей вираз з виразом , отримаємо такий вираз длягустини струму зміщення:

.

Густина струму зміщення в діелектриці визначається з виразу для електричного зміщення , де – напруженість електростатичного поля; – поляризованість. Отже, густина струму зміщення

,

де –густина струму зміщення у вакуумі; – густина струму поляризації – струму, обумовленого впорядкованим рухом електричних зарядів в діелектриці (зміщення зарядів в неполярних молекулах або поворот диполів в полярних молекулах). Збудження магнітного поля струмами поляризації правомірно, оскільки струми поляризації за своєю природою не відрізняються від струмів провідності.

обумовлена лише змінюванням електричного поля в часі, проте також збуджує магнітне поле. Це принципово нове твердження Максвела. Навіть у вакуумі всяке змінювання в часі електричного поля приводить до виникнення в навколишньому просторі поля магнітного.

Густина повного струму

.

По Максвелу, повний струм завжди замкнений, тобто на кінцях провідника обривається лише струм провідності, а в діелектриці (вакуумі) між кінцями провідника є струм зміщення, який замикає струм провідності.

Зі всіх фізичних властивостей, притаманних струму провідності, Максвел приписав струму зміщення лише одне – здатність створювати в навколишньому просторі магнітне поле.

Друге рівняння Максвелла – це узагальнена Максвеллом теорема про циркуляцію вектора .Максвелл узагальнив теорему про циркуляцію вектора ,ввівши в її праву частину

.

З урахуванням цього узагальнена теорема про циркуляцію вектора має такий вид:

. (2)

Ця теорема показує, що магнітні поля можуть збурюватись або рухомими зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.