Валентна зона – це зона, повністю заповнена електронами. Утворюється з енергетичних рівнів внутрішніх електронів вільних атомів.

Зона провідності (вільна зона)– це зона, яка або частково заповнена електронами, або вільна. Утворюється з енергетичних рівнів зовнішніх "колективізованих електронів" ізольованих атомів.

Діелектрики і напівпровідники

У випадку діелектрика (мал. в) ширина забороненої зони декілька ; тепловий рух не може перекинути електрони з валентної зони в зону провідності.

У випадку напівпровідника (мал. г) ширина забороненої зони ~, тому таке перекидання можливе за рахунок теплового збудження або за рахунок зовнішнього джерела, здатного передати електронам енергію .

******************************************************************

ЛЕКЦИЯ 27

Квантова статистика

1. Поняття про квантові статистики

Квантовою статистикою називається статистичний метод дослідження, який застосовується до систем, що складаються з великого числа частинок і підкоряються законам квантової механіки.

На відміну від початкових положень класичної статистичної фізики квантова статистика будується на принципі нерозрізнюваності тотожних частинок: всі однакові частинки (наприклад, всі електрони в металах, всі протони в ядрах атомів) вважаються такими, що принципово не відрізняються одна від одної. Таким чином, в квантовій механіці однакові частинки втрачають свою індивідуальність.

Тотожні частинки експериментально розрізнити неможливо. Цей принцип – не просто наслідок інтерпретації вірогідності хвильової функції; він вводиться в квантову механіку як новий фундаментальний принцип.

Враховуючи фізичне значення квадрата модуля хвильової функції , принцип нерозрізнюваності тотожних частинок можна записати у вигляді

,

де і– відповідно сукупність просторових і спінових координат першої і другої частинок. Таким чином, можливі два випадки:

тобто принцип нерозрізнюваності тотожних частинок веде до певної властивості симетрії хвильової функції.

Симетрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями не змінює знак.

Антисиметрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями змінює знак.

Зміна знака хвильової функції не означає зміни стану, оскільки фізичне значення має лише квадрат модуля хвильової функції. Частинки з напівцілим спіном (наприклад, електрони, протони, нейтрони) описуються антисиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Фермі – Дірака; ці частинки називають ферміонами. Частинки з нульовим або цілочисельним спіном (наприклад, -мезони, фотони) описуютьсясиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Бозе – Эйнштейна; ці частинки називають бозонами. Складні частинки (наприклад, атомні ядра), складені з непарного числа ферміонів, є ферміонами (сумарний спін – напівцілий), а з парного – бозонами (сумарний спін цілий).

2. Функція розподілу Бозе – Ейнштейна

Функцією розподілу Бозе – Ейнштейна називається середня "заселеність" бозонами станів з даною енергією, тобто середнє число частинок в одному стані:

,

де – число частинок з енергією в інтервалі віддо;– число квантових станів в цьому інтервалі енергій.

Для знаходженя функції розглядається термодинамічна вірогідністьРрозподілу частинок системи по квантових станах і знаходиться найвірогідніший розподіл за умови збереження числа частинокв системі і енергіїсистеми:

Підсумовування проводиться по всіх квантових станах системи.

Застосовуючи метод невизначених множників Лагранжа при відшуканні умовного екстремуму, можна отримати такий вираз для функції розподілу Бозе — Ейнштейна:

,

де – середнє число частинок (бозонів) в квантовому стані з енергією ;– постійна Больцмана;Т — абсолютна температура; – хімічний потенціал, який не залежить від енергії, а визначається лише температурою і густиною числа частинок.