4.5.3 Оптимальная длина обрезных досок, вырабатываемых из необрезных

Необрезные доски перерабатывают в обрезные обрезкой их по ширине. Пласть необрезной доски представляет собой поверхность,ограниченную полной или усеченной параболой, в которую могут быть вписаны разнообразные прямоугольники, представляющие собой пласти обрезных досок. В этой связи возникает необходимость определения оптимальных размеров обрезных досок по длине и ширине. На рис.4.10 показана наружная пласть необрезной доски, имеющей форму полной параболы с началом, координат в ее вершине. В параболу вписан прямоугольник ABCD, шириной b₀, длиной l₀=l_пар-h. Здесь l_пар - высота параболы и h - расстояние от начала координат по оси х до места отрезки параболы по высоте. Из уравнения параболы и рисунка имеем у² = сх = 2сh, или (b_o/2)² = 2ch; откуда b₀ = . Площадь прямоугольника ABCD равна

Рис.4.10 Наружная пласть необрезной доски, имеющая форму полной параболы

Для определения максимума этой площади берут производную от f по h и: приравнивают ее нулю

Получют l_пар-3h = 0. Откуда h=l_пар/3, т.е. максимальная площадь прямоугольника, вписанного в параболу, будет тогда, когда парабола с вершины будет укорочена на 1/3 высоты.

Оптимальная длина обрезной доски составит:

(4.15)

Подставив в (4.15) значение из (4.13), получим

(4.16)

Если наружная пласть необрезной доски по форме представляет собой усеченную параболу, то для нахождения оптимальной длины обрезной доски необрезную доску укорачивают по длине также на 1/3 полной высоты параболы от предполагаемой ее вершины. При этом для части досок, находящихся в пределах верхнего торца бревна, расчетная оптимальная длина обрезных досок может оказаться больше длины бревна. В этом случае оптимальную длину досок принимают равной длине бревна ( ).

4.5.4 Пифагорическая и параболическая зоны бревна

Из (4.16) можно найти А_кр = 2а_кр - критическое расстояние между сим­метричными пропилами (рис.4.11), ограничивающими в бревне зону, в пределах которой оптимальная длина обрезных досок равна длине бревна.

Для этого в (4.16) вместо lо подставим L. Выражение примет вид

L = 2L/3[(D² - 4a²)/(D²- d²)].

Теперь из этого выражения найдем 2а = A_кр :

1=2/3[(D²-4a²)/(D²-d²)^,].

3(D² - d²) = 2(D²- 4a²);

3D ²- 3d ²- 2D² + 8a² = 0.

Сокращаем все выражение на 2 и решаем относительно 2а=А_кр

(4.17

или

В теории максимальных поставов зона А_кр , названа пифагорической. За пределами пифагорической зоны по обе стороны, как показано на рис. 4.11, лежит параболическая зона. В пифагорическои зоне оптимальная длина обрезных досок равна длине бревна (l₀=L), а в параболической зоне оптимальная длина обрезных досок меньше длины бревна (lо <L) и составляет 2/3 высоты параболы l₀ = 2/3 lпар.

Рис.4.11 Зоны бревна:

1- пифагорическая;

2 - параболическая

Размер пифагорической зоны А_кр зависит, как видно из (4.17), от соотношения диаметров верхнего и нижнего торцов бревна.. Значения А_кр, в долях верхнего торца диаметра следующие:

d/D	1	0,90	0,85	0,75	0,70	0,65	0,577
Акр	1	0,95	0,89	0,79	0,70	0,577	0

Отсюда видно, что размер А_кр в долях верхнего диаметра изменяется в пределах oт 1 до 0. А_кр=d для случая d/D=1 , т.е. в бревне, имеющем форму цилиндра. В таком бревне отсутствует параболическая зона, оптимальная длина всех обрезных досок будет равна l₀ = L. А_кр=0 для случая d/D = 0,577 и менее, т.е. в бревнах с большим сбегом. В таких бревнах отсутствует пифагорическая зона, следовательно, оптимальная длина всех обрезных досок будет меньше длины бревен (l₀<L).