1.1.3 Сплайновая модель

Эта модель наиболее универсальна для математического описания поверхности хлыстов и бревен, а также необрезных пиломатериалов с любыми пороками формы. Математическим аппаратом здесь являются бикубические сплайны. (Сплайн-функция, или просто сплайн – функция с кусочной структурой и повторяющимся на каждом звене строением, но с различными значениями параметров). Моделью может служить некоторая протяженная двусторонняя поверхность, гомеоморфная конечному цилиндру с замкнутой направляющей [28]. Можно считать, что она представлена своим точечным каркасом – матрицей значений:

|| z_ij ||; i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ..., M, (1.10)

заданных некоторым регулярным образом в узлах сетки:

D = Dх + Dу;

Dх: a = x₁ < x₂ < ... < x_N = b; (1.11)

Dy: с = y₁ < y₂ < ... < y_M = d.

Точечный каркас поверхности может быть образован одним из простейших способов, когда сетка D и матрица || z_ij || представляют собой значения прямоугольных декартовых координат соответствующих точек поверхности, лежащих на параллельных сечениях ее двумя семействами взаимно ортогональных плоскостей определенного направления, например, параллельных координатным плоскостям ХОУ и ХОZ (рис. 1.3). Этот способ формирования точечного коркаса поверхности бревна задает направление двух семейств координатных линий: первое образовано замкнутыми линиями попереч-

Рис. 1.3 Каркас поверхности бревна

ных сечений S_м, второе состоит из образующих боковой поверхности бревна t_N. Если значения точечного каркаса получены из точных измерений, то естественным способом аппроксимации таких данных является интерполяция в виде сплайна:

;

x, yÎ R_ij; i = 1, 2, ..., N – 1; j = 1, 2, ..., M – 1, (1.12)

со значениями, заданными матрицей (1.10) на сетке узлов (1.11).

Так как геометрическая модель поверхности бревна относится к замкнутым поверхностям, то удобно использовать ее параметрическое представление:

(1.13)

где t и s – параметры, связанные соответственно с первым и вторым семействами координатных линий.

Параметризация поверхности, заданной узлами точечного каркаса, может быть проведена следующим образом. Выбрав две каркасные линии из разных семейств, представленные в дискретно-точечной форме, и введя для каждой из них параметризацию по суммарной длине хорд, получают сетки Dt и Ds, объединение которых дает двумерную сетку:

D = Dt ´ Ds; Dt : 0 = t₁ < t₂ < ... < t_N = 1;

Ds : 0 = s₁ < s₂ < ... < s_M = 1, (1.14)

причем R : [0,1] ´ [0,1] – единичный квадрат.

Задачу интерполяции поверхности бревна можно переформулировать в новых обозначениях так: найти бикубические сплайны С_x (t, s), С_y (t, s) и С_z (t, s) вида (1.12 ) со значениями соответственно || х_ij ||, || y_ij ||, || z_ij ||, заданными в узлах сетки (1.14).

Следовательно, моделирование поверхности сводится к построению трех бикубических сплайнов на общей сетке узлов. Алгоритм построения бикубического сплайна основан на том, что на линиях сетки, например s = s_j, j = 1, 2, ..., M, сплайн С (t, s_j) и его частные производные по s являются кубическими от переменной t. Для однозначного определения коэффициентов сплайна требуется задавать дополнительные условия на границе области. В данном случае целесообразно выбирать так называемые смешанные граничные условия, а именно: для переменной t – условия периодичности сплайна С (t, s) и его частных производных по t до порядка 2 включительно, а для переменной s – значения первых частных производных по s на границах s = s₁, s_M в точках t_i, i = 1, 2, ...,N – 1.

Построение сплайнов С_y (t, s) и С_z (t, s) осуществляется аналогично.

Таким образом, построение бикубического сплайна сводится к решению 2N + M систем уравнений: по М + 2 на первом и по N – 1 на втором и третьем шагах. Моделирование же поверхности бревна требует, как это следует из (1.13), решения в общей сложности W = 3(2N + M) одномерных задач. Если принять среднюю длину бревна L_ср = 5м и предположить, что точечный каркас задается через каждый метр его длины восьмиточечной сеткой поперечных сечений, то W=3(2×9+6)=72.При использовании другого варианта алгоритма, где переменные t и s переставлены местами, W = 3(2 × 6 + 9) = 63. Поэтому при реализации алгоритма быстродействие применяемых вычислительных средств должно быть достаточно высоким.

Приведенная модель поверхности бревна содержит в качестве базовых алгоритмы моделирования каркаса (поперечных сечений и образующих) одномерными кубическими сплайнами. Исследования показали, что такие модели обладают удовлетворительной точностью (1,5…2,0 %).

Практическое применение сплайновых моделей (1.11, 1.12 и 1.14) в системах автоматизированного учета, раскроя, а также проектирования связано с построением соответствующих алгоритмов раскроя сырья и созданием оборудования, обеспечивающего необходимые измерительные, вычислительные и технологические функции.