4.10 Моделирование и оптимизация

раскроя бревен на ЭВМ

4.10.1 Общие положения

Отечественные разработки в области раскроя бревен на пиломатериалы и особенно теории максимальных поставов занимают ведущее положение в мире. Разработанный математический аппарат широко используется при разработке алгоритмов и программ раскроя бревен на пиломатериалы и оптимизации этого процесса с помощью ЭВМ. При этом используется математический аппарат в триаде: имитационная математическая (экономико-математическая) модель – алгоритм - специальная технологическая программа. Принципиальным отличием здесь является возможность изменять параметры пиловочных бревен, размерную спецификацию пиломатериалов, те или иные технологические ограничения (минимальную длину боковой доски и т.д.), обеспечивая при этом максимально возможный объемный выход пиломатериалов при заданных условиях и ограничениях.

Имитация раскроя сырья на пиломатериалы на ЭВМ позволяет осуществить одновременно и составление, и расчет оптимальных спецификационных поставов практически с любым шагом расчета, чтобы обеспечить высокий выход пиломатериалов. Это позволяет также перейти к автоматической оптимизации раскроя каждого бревна, а при раскрое хлыстов по критерию максимального объемного выхода пиломатериалов – и хлыста, так как имитационные программы могут быть включены в контур управления бревнопильных линий с гибкими поставами и тримерных линий для раскроя хлыстов.

Поставы можно оптимизировать методом последовательной оптимизации или методом полного перебора всех возможных вариантов раскроя. Расчет поставов методом последовательной оптимизации на ЭВМ занимает меньше времени, особенно на бревнах больших диаметров. Он используется при планировании раскроя при заданных сечениях брусовых досок. Однако следует учитывать, что только методом полного перебора могут быть рассчитаны поставы, обеспечивающие максимальный объемный выход спецификационных пиломатериалов.

В качестве примера использования ЭВМ для моделирования и оптимизации раскроя бревен на пиломатериалы ниже приведена работа С.Г. Елсакова [13].

4.10.2 Математическое моделирование и оптимизация раскроя бревен неправильной формы

До 30 % пиловочных бревен, поступающих на лесопильные предприятия, имеют кривизну до 2 %. Кроме того, при среднем диаметре 30см эллиптичность поперечного сечения возможна у 80 % бревен. Считают, что каждый процент кривизны дает снижение выхода пиломатериалов на 8…10 %. Эллиптичность бревен влияет на изменение ширины и толщины спецификационных пиломатериалов. Поэтому раскрой бревен необходимо осуществлять с учетом как кривизны, так и эллиптичности. Из-за неправильной установки кривых брусьев перед раскроем общий выход пиломатериалов из них уменьшается на 2,5 %. Невозможность визуального определения оптимальной обрезки кривых досок также приводит к значительным потерям древесины.

При решении этой проблемы основными вопросами являются разработка имитационной модели бревен, брусьев, досок неправильной формы и моделирование процесса раскроя бревен на разработанной имитационной модели.

Имитация раскроя бревен неправильной формы зависит от условий поставленной задачи: раскрой по заданному поставу и по заданной ориентации, определяемой особенностями ориентирующих устройств; проектирование и расчет оптимального постава и оптимальной ориентации бревна, бруса, доски перед продольным раскроем.

Исходные технологические положения, определяющие варианты ориентации бревна, бруса и необрезных досок перед раскроем; на первом пароходе бревно ориентируется кривизной вниз (вверх) с возможным смещением центра нижнего сечения; на втором проходе брус ориентируется кривизной вбок также с возможностью смещения центра нижнего торца относительно центра верхнего торца. Аналогично возможна различная ориентация кривой необрезной доски перед обрезным станком.

На рис.4.33 приведена блок-схема алгоритма проектирования и расчета оптимального постава и оптимальной ориентации бревна, бруса и необрезных досок неправильной формы. Поскольку большинство бревен неправильной формы (около 90 %) имеют одностороннюю кривизну, то изогнутая ось бревна представлена полиномом третьей степени. Как правило, большая ось эллиптического сечения бревна и плоскость, в которой расположена изогнутая ось, совпадают.

Исходную модель бревна формируют по формуле

(4.45)

где х_i, y_i — координаты точек поверхности бревна, представленного на рис.4.34, a_i, b_i — размеры полуосей эллипса в случае постоянной величины сбега S:

где а_о и b_o - размеры полуосей эллипса в верхнем торце бревна, с_i — координата х точки оси бревна или величина смещения i-го сечения относительно центра верхнего торца; d_i - координата у точки оси бревна, определяемая по формуле

где Ко…Кз - коэффициенты полинома.

Помимо геометрических параметров бревна должны быть заданы:

массив Ql(i,j), содержащий спецификацию сечений пиломатериалов, где Ql_i —толщина досок, Ql_j — соответствующие заданным толщинам ширины досок;

массив Q2(ij), содержащий значения сечений пиломатериалов с припусками на усушку;

массив BR(ij), содержащий значения толщин брусьев и центральных досок, ширина которых соответствует толщине бруса;

массив BR(ij), содержащий значения брусьев и центральных досок с припуском на усушку; минимальная длина доски, разрешенная к выпиловке, - l_min;

Рис.4.33 Алгоритм проектирования и расчета оптимального поства и оптимальной ориентации бревна, бруса и необрезных досок неправильной формы

Рис. 4.34 Расчетная схема раскроя и ориентации бревна неправильной формы

градация длины досок - qr.

толщина пропила — t_пр.

Расчет начинают (блок 2 на рис.4.33) с выбора толщины бруса BR_i, из массива BR(ij). Расход ширины полупостава на брус определяют как половину его толщины (блок 4) .

Управление передается подпрограмме ПП1 расчета раскроя необрезных досок (блок 5).В подпрограмме ПП1 после расчета расхода на боковую доску Р =р+ 02_i +t_пр (блок 1) определяют координаты наружной пласти доски (блок 2) решением системы уравнений

(4.48)

Коэффициенты К_о,К₁,K₂, Кз находят (блок 6) по методу наименьших квадратов, аппроксимируя значения координат у_i1, y_i2. Текущую длину l_T доски определяют (блок 3) по выражению l_T =L – z_K,, где z_K, — длина участка, на котором система уравнений не имеет решений. Если l_T  l_min , то осуществляется переход к блоку 4, с помощью которого вычисляют значение первоначального угла ориентации  доски перед обрезкой, как угла между хордой KB выпуклой кромки и линией, соединяющей центры торцов доски O_K – O₁ (рис.4.35, а).

Линия обрезки К₁В₁ нижней кромки доски должна быть параллельна прямой KB и является касательной к вогнутой кромке. Угловой коэффициент касательной в точке касания z₀ равен первой производной функции:

(4.49)

выражающей вогнутую кромку доски tg = ^’ (z₀). Продифференцировав уравнение, находят z₀; подставляя его в уравнение (4.49) получают значение координаты у₀ (блок 5).

Выбор ширины доски осуществляется из массива Q2(i,j) (блок 6). Начиная с самой узкой, перебирают все ширины для соответствующей толщины доски. Если ширины не кончились, определяют длины доски решением системы уравнении:

Первое уравнение системы — полином 3-й степени, который выражает выпуклую необрезную кромку доски; во втором уравнении значение b определяют из выражения b = у₀ + Q2(i,j) = tg z₀.

Рис.4.35 Расчетная схема раскроя и ориентации: а — необрезной доски неправильной формы, полученной на первом проходе; б — бруса неправильной формы; в — доски неправильной формы, полученной на втором проходе

Систему (4.50) преобразованную к линейному уравнению вида

решают любым известным методом (простых итераций, Ньютона, Рыбакова и т.д.) на отрезке [0; lт] с заданной погрешностью  вычисления корней z_i,1,2.

Спецификационную длину обрезной доски вычисляют по формуле

Объем доски при текущей ширине доски

Если ширины досок закончились (соблюдено условие блока 7), управление передается блоку 8, который изменяет угол ориентации доски перед обрезкой на величину < .По окончании вариантов ориентации доски перед обрезкой максимальный объем доски суммируют с объемом досок, полученных на первом проходе (блок 10), и управление вновь передается блоку 1.

При симметричном раскрое, когда нет смещения центра нижнего торца относительно верхнего, расчет первого прохода заканчивается при несоблюдении условия блока 3. Полученный суммарный объем досок удваивается, и происходит возврат в основную программу. При несимметричном раскрое постав рассчитывают аналогично выше представленному алгоритму, но с противоположной стороны от оси постава, поэтому в системе уравнений (4.48) расход ширины полупостава р берут со знаком минус.

При возвращении в основную программу управление передается блоку 6, с помощью которого рассчитывают координаты нужной пласти бруса у_i1, у_i2 решением системы уравнений (4.48). Блоком 7 вычисляют первоначальный угол ориентации бруса к оси постава < , как угол между хордой ВК выпуклой кромки бруса и линией, соединяющей центры торцов бруса О -О' (рис.4.35,б). Кромка .наружной пласти центральной доски должна быть касательной к вогнутой кромке бруса в точке с координатами z₀, у₀, расчет которых производят аналогично рассмотренному случаю при обрезке доски (блок 8).

Блок 9 производит расчет объемов боковых досок, расположенных с вогнутой стороны (с правой) бруса от пакета центральных досок. Расчет расхода ширины полупостава на каждую доску будет определяться как r = r–Q2_i–t_пр. Первоначально r = у₀ – z₀ tg . Форма полученной доски представлена на рис.4.35,в.

Из доски такой формы можно получить либо две или одну короткую доску, либо одну доску полной длины. Координаты верхней кромки этой доски (досок) x_i1 определяют решением системы уравнений

при условии, что x_i ≤ p, т.е. координаты лежат выше пласти бруса.

Аппроксимируя полученные значения х_i1 по методу наименьших квадратов, получаем коэффициенты функции, определяющие верхнюю кромку доски x=f(z). Методом перебора, начиная с наименьшей ширины доски из массива Q2(i,j) , определяем длину (длины) получаемой доски (досок) решением системы уравнений:

Первое уравнение системы выражает верхнюю кромку доски, а второе -половину ширины доски, выбираемой из массива Q2(i,j). Корни решения системы уравнения z₁, z₂, приведя ее к линейному виду:

находят указанным выше методом. При наличии корней z₁ и z₂ длины получаемых досок определяют следующим образом:

_(4.56)

Если система уравнений (4.56) не имеет решений при условии Q2(i,j)/2<Р, то длина получаемой доски равна длине бруса.

По окончании перебора ширин находят размеры доски наибольшего объема; ее объем суммируют с объемом боковых досок второго прохода.

Управление передается блоку 10, определяющему ширину пласти бруса B_kb, из которой могут быть выпилены безобзольные длины, по формуле

(4.57)

Из массива BRl(i,j) блоком 11 осуществляется перебор толщин центральных досок, ширина которых соответствует толщине бруса. Далее вычисляют количество N_ЦД и объем V_ЦД получаемых центральных досок:

Расход постава на выпиловку центральных досок

(4.59)

Блок 13 рассчитывает и суммирует объемы боковых тонких досок, стоящих слева, т.е. в сторону выгнутой кромки бруса от центральных досок.

По окончании выбора толщин центральных досок (выполнение условия блока 12) управление передается блоку 14, который изменяет угол ориентации бруса перед раскроем. Затем управление передается блоку 8, и расчет повторяется при новом угле ориентации. По окончании вариантов изменения угла ориентации бруса управление передается блоку 16, изменяющему величину смещения нижнего торца бревна относительно верхнего. Если варианты смещения бревна закончились (выполнение условия блока 17), то управление передается блоку 2 для выбора следующей толщины бруса.

По окончании выбора толщин брусьев или выбора толщины бруса больше 0,8 от величины верхнего диаметра процедура вычисления заканчивается, и в качестве исходных данных выдается оптимальный постав и оптимальные варианты ориентации бревна, бруса и досок неправильной формы перед продольным раскроем. Толщина более 0,8 величины верхнего диаметра кривых бревен практически нереальна.

В заключение этого раздела следует заметить, что при проектировании и расчете поставов на ЭBM пользователю необходимо овладеть приведенными выше аналитическим и графическими методами проектирования оптимальных поставов, что в сумме дает наилучшее представление о закономерностях и особенностях раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы.