- •Раздел второй кинетика
- •4. Кинетика
- •4.1. Введение в кинетику
- •4.1.1. Предмет кинетики. Основные понятия
- •4.1.2. Основные законы механики
- •4.1.3. Связи и реакции связей
- •4.1.4. Силы трения
- •4.1.5. Классификация связей
- •Вопросы для повторения
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •4.2.1. Дифференциальные уравнения движения свободной точки
- •4.2.2. Движение несвободной материальной точки
- •4.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •4.2.4. Две основные задачи динамики
- •Вопросы для повторения
- •4.3. Введение в динамику механической системы
- •4.3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы
- •4.3.2. Силы, действующие на абсолютно твердое тело
- •4.3.3. Распределенные силы. Центр тяжести
- •4.3.4. Момент силы относительно точки и относительно оси
- •4.3.5. Пара сил
- •4.3.6. Главный вектор и главный момент системы сил. Свойства внутренних сил
- •4.3.7. Приведение системы сил к данному центру
- •4.3.8. Масса и центр масс системы материальных точек
- •4.3.9. Моменты инерции
- •4.3.10. Моменты инерции простейших однородных тел
- •Вопросы для повторения
- •4.4. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
- •4.4.1. Количество движения материальной точки и системы материальных точек. Элементарный и полный импульсы силы.
- •4.4.2. Теорема об изменении количества движения системы
- •4.4.3. Теорема о движении центра масс
- •4.4.4. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •Вопросы для повторения
- •4.5. Теорема об изменении кинетического момента
- •4.5.1. Кинетический момент точки
- •4.5.2. Кинетический момент системы материальных точек
- •4.5.3. Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек
- •4.5.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
- •Вопросы для повторения
- •4.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •4.6.1. Кинетическая энергия точки и системы точек
- •4.6.2. Работа силы
- •4.6.3. Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу
- •4.6.4. Работа внутренних сил
- •4.6.5. Мощность
- •Вопросы для повторения
- •4.6.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •Вопросы для повторения
- •4.6.7.* Потенциальное силовое поле
- •4.6.8.* Потенциальная энергия
- •4.6.9*. Закон сохранения механической энергии
- •Вопросы для повторения
- •5. Статика
- •5.1. Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу
- •5.2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •5.3. Условия равновесия систем сходящихся и параллельных сил
- •5.4. Условия равновесия плоской системы сил
- •Решив эту систему, получим
- •5.5. Равновесие системы тел. Примеры решения задач
- •Вопросы для повторения
- •5.6.* Принцип возможных перемещений
- •Вопросы для повторения
- •6. Принцип даламбера
- •6.1. Принцип Даламбера для материальной точки
- •6. 2. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •6. 3 *. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
- •6.4*. Общее уравнение динамики
- •Вопросы для повторения
- •Список литературы Основная
- •Дополнительная
- •4.1. Введение в кинетику ………………………………… . ..141
- •4.1.1.Предмет кинетики. Основные понятия………… ……..141
4.3.7. Приведение системы сил к данному центру
Как известно, силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно переносить вдоль линии действия в любую точку тела. Докажем теперь, что
силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно ее новой точки приложения.
Пусть сила приложена в точке А тела (рис. 4.36, а) Приложим в точке В, куда мы хотели бы перенести силу , уравновешенную систему сил таких, что
Р ис. 4.36
(рис. 4.36, 6). Тогда ~ .
Силы и образуют пару сил, поэтому полученную систему трех сил можно рассматривать как совокупность силы , приложенной в точке В, и пары сил (рис. 4.36, в). Пара сил определяется ее моментом , равным. моменту силы относительно точки В: . Таким образом, исходная сила , приложенная в точке А, эквивалентна геометрически равной ей силе, приложенной в точке В, и паре сил с моментом равным моменту силы относительно центра В (рис. 4.36, г), что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим произвольную систему сил , приложенную к абсолютно твердому телу (рис. 4.37, а). Докажем, что эта система сил эквивалентна совокупности одной силы и паре сил.
Процесс замены системы сил одной силой и парой сил называется приведением к заданному центру.
Выберем в теле произвольную точку О, которую назовем центром приведения Пользуясь только что доказанной теоремой о параллельном переносе силы, перенесем в точку О параллельно самим себе все силы системы, добавляя каждый раз пару сил с моментами,
Рис. 4.37
равными моментам переносимой силы относительно центра приведения О. В результате этой операции мы получим систему сходящихся сил таких, что , и систему пар сил ( ), моменты которых равны моментам исходных сил относительно точки О: (рис. 4.37, б). Как было доказано выше, систему сходящихся сил можно заменить ее равнодействующей
,
а систему пар сил — одной парой с моментом, равным векторной сумме моментов слагаемых пар:
.
Таким образом, исходная система сил заменена одной силой и одной парой сил с моментом (рис. 4.37, в), что и требовалось доказать. По определению, данному в предыдущем параграфе, полученная сила и момент пары сил являются главным вектором и главным моментом исходной системы сил в точке О.
Следовательно, произвольная система сил, приложенных к абсолютно твердому телу, в результате приведения ее к произвольному центру может быть заменена одной силой, равной главному вектору исходной системы сил, и одной парой сил, с моментом, равным главному моменту исходной системы сил относительно точки О, причем
, . (4.54)
4.3.8. Масса и центр масс системы материальных точек
Масса М системы п материальных точек равна арифметической сумме масс тk всех ее точек, то есть
(4.55)
Центром масс системы п материальных точек называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой определяется выражением
(4.56)
где — радиус-вектор k-й точки. Спроектировав это равенство на оси координат, получим выражения для координат центра масс системы материальных точек:
, , , (4.57)
где — координаты точек системы. Если центр масс находится в начале координат, то = 0 и, следовательно,
,
или
, , . (4.58)
Для тел малых размеров, находящихся вблизи поверхности Земли, можно принять, что mk = Pk/g, где Рk — вес k-й точки, и поэтому выражение для радиус-вектора центра масс принимает вид
(4.59)
То есть при инженерных расчетах можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы.