4.2.4. Две основные задачи динамики

При помощи дифференциальных уравнений движения точки, рассмотренных в предыдущем параграфе, можно решать две основные задачи динамики точки.

Первая задача динамики. Зная массу точки М и уравнение ее движения найти модуль и направление равнодействующих сил, приложенных к точке.

Например, если известна масса точки m и уравнения ее движения:

. (4.26)

то, используя основное уравнение динамики (4.2) находим проекции равнодействующей силы, ее модуль и направление по формулам

, (4.27)

Вторая задача динамики. Определить движение материальной точки, зная приложенные к ней силы, массу точки при заданных начальных условиях (ее начального положения и начальной скорости).

Решение этой основной задачи динамики сводится к интегрированию основного дифференциального уравнения для получения координат точки как функций времени. Равнодействующая сил, приложенных к точке, в общем случае является функцией времени, координат движущейся точки и ее скорости. Поэтому и проекции равнодействующей на оси выбранной системы координат будут функциями этих же переменных, а дифференциальные уравнения движения примут вид

(4.28)

Чтобы найти уравнения движения точки (4.26) необходимо проинтегрировать систему (4.28) трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В результате интегрирования этой системы. При интегрировании каждого дифференциального уравнения появляются две постоянные, а потому при интегрировании трех дифференциальных уравнений точки будет шесть произвольных постоянных. Значения этих постоянных определяют по начальным условиям движения в некоторый момент времени (необязательно при t = 0).

Так, пусть в начальный момент времени (при ) известны координаты точки и проекции ее скорости:

(4.29)

и пусть найдены общие решения дифференциальных уравнений (4.28):

, (4.30)

.

Продифференцировав уравнения (4.30), получим проекции скорости точки:

, , . (4.31)

Подставив в уравнения (4.30) и (4.31) вместо времени, координат и проекций скоростей их начальные значения получим систему шести алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С₁, С₂, …, С₆

………………………..

………………………..

Из этих уравнений определяют постоянные интегрирования в зависимости от начальных координат и проекций начальных скоростей. Таким образом, подставляя найденные значения в общее решение дифференциальных уравнений, получим:

(4.32)

Вопросы для повторения

1. Напишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат и на естественные оси.

2. Какая разница между дифференциальными уравнениями движения свободной и несвободной материальной точки?

3. Сформулируйте аналитические условия равновесия материальной точки относительно инерциальной системы координат.

4. Запишите основной закон динамики для относительного движения

5. Чему равны переносная и кориолисова силы инерции?

6. Сформулируйте условие относительного равновесия материальной точки.

7. В каком случае переносная и кориолисова силы инерции равны нулю?

8. Сформулируйте принцип относительности классической механики.

9. Какая система координат называется инерциальной?

10. Каковы две основные задачи динамики материальной точки?

11. Как определяются произвольные постоянные интегрирования при решении дифференциальных уравнений движения точки?

12. В каком случае проекция скорости на одну из декартовых осей координат остается постоянной?

13. Какое условие надо наложить на силы, действующие на материальную точку, чтобы последняя двигалась равномерно по криволинейной траектории?

14. При каких условиях сумма проекций сил, приложенных к точке, на главную нормаль траектории равна нулю?

15. Где выбирается начало координат при составлении дифференциальных уравнений движения точки?