4.4.2. Теорема об изменении количества движения системы

Для механической системы, состоящей из п материальных точек, запишем дифференциальные уравнения движения в векторной форме (4.33):

, k=1,2,...,n,

где и — равнодействующие приложенных к точке внешних и внутренних сил соответственно. Так как масса каждой точки постоянна, внесем ее под знак производной, после чего просуммируем все эти п уравнений:

.

Поскольку операции суммирования и дифференцирования переместимы, а главный вектор внутренних сил равен нулю ( ), мы имеем

.

По определению, количество движения системы равно , и мы получаем теорему об изменении ко­личества движения системы в дифференциальной форме:

, (4.79)

то есть производная по времени от количества движения си­стемы материальных точек равна главному вектору внеш­них сил, действующих на систему.

Отсюда следует, что внутренние силы не влияют на изменение количества движения системы.

Эту же формулу можно переписать иначе:

, (4.80)

что представляет вторую дифференциальную форму теоремы: дифференциал количества движения системы материальных точек равен векторной сумме элементарных импульсов действующих на систему внешних сил.

После интегрирования последнего равенства в преде­лах от t₀ до t₁ получим теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме:

, (4.81)

то есть приращение количества движения системы за про­межуток времени Δt = t₁— t₀ равно векторной сумме по­действовавших на систему за это же время внешних им­пульсов.

Спроектировав формулы (4.79) и (4.81) на оси пря­моугольной системы координат, получим запись теоремы в координатном виде в дифференциальной форме

, , (4.82)

и в интегральной форме

,

, (4.83)

.

Теорема принимает особенно простой вид, если главный вектор внешних сил равен нулю, то есть. , тогда , следовательно,

. (4.84)

Таким образом, при равенстве нулю главного вектора внешних сил, действующих на систему, количество движения послед­ней остается неизменным. Это утверждение носит назва­ние закона сохранения количества движения. Если одна из проекций главного вектора внешних сил равна нулю, то неизменной остается соответствующая проекция коли­чества движения; например, если

, то и . (4.85)

Примеры выполнения закона сохранения количества движения механической системы или его проекции часто встречаются в природе и технике. Так, если человек пере­ходит с кормы на нос первоначально неподвижной лодки, то между ним и лодкой возникают внутренние силы взаимодействия, за счет которых человеку и лодке сообща­ются соответствующие количества движений, сумма ко­торых равна нулю. Поэтому во время перемещения человека относительно лодки последняя будет двигаться в направлении, противоположном движению человека. Но как только человек остановится, прекратится и движение лодки, система снова станет неподвижной. Принцип реак­тивного движения также основан на законе сохранения количества движения. Действительно, если рассматривать ракету и вылетающие из нее газы как одну систему, то силы взаимодействия газов и корпуса ракеты являются внутренними и не могут изменить общего количества движения системы. Поэтому при вылете газов корпус ракеты должен двигаться в противоположном направлении со скоростью, обеспечивающей равенство нулю общего количества движения системы ракета — газы.