6. 3 *. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть на твердое тело, вращающееся вокруг оси АВ (рис. 6.5) с постоянной угловой скоростью ω, действует система сил ( ) главный вектор которой равен , а главный момент относительно точки А равен

.

Так как вращение равномерное, то проекция главного момента на ось вра­щения равна нулю = 0 и, следователь-но, лежит в плоскости Аху. Определим реакции подшипника В и подпятника А.

Рис. 6.5 Для этого мысленно отбросим связи, заменив их реакциями

( ).

Приложим к каждой точке те­ла силу инерции , ввиду равномер­ности вращения (ε = 0) равную Ф_k=m_kω²h_k, и составим уравнения равновесия полученной системы сил:

,

,

,

,

.

Так как Ф_kх = m_kω²h_k,cosα = m_kω²х_k и

Ф_kу = m_kω²h_k,sinα = m_kω²у_k,

то

где х_С, у_С — координаты центра масс тела, J_yz, J_zx — центробежные моменты инерции тела. Динамические реакции находятся из урав­нений

Х_А+Х_В= - R_x - Mω² x_C, Y_A + Y _В= - R_y - Mω² y_C,

Z_A= - R_z, Y_Bb = M_z - ω² J_yz, Х_Bb = - M_y - J_xz (6.11)

и будут отличаться от статических реакций, которые получаются из этих же уравнений при ω= 0.

Для того, чтобы вращение не вызывало дополнительных нагру­зок на подшипники, должны выполняться условия

x_C= 0, у_C = 0, J_yz=0, J_xz = 0 , (6.12)

означающие, что:

1) центр масс тела должен лежать на оси вращения;

2) ось вращения должна быть главной осью инерции в точке А, то есть с учетом первого условия ось вращения должна быть главной центральной осью инерции тела.

Этот же вывод справедлив и для неравномерного вращения. Проблема ликвидации дополнительных динамических реакций в подшипниках вращающихся частей и деталей машин до сегодняш­него дня остается одной из важнейших в машиностроении.

6.4*. Общее уравнение динамики

Как было показано, принцип Даламбера позволяет записывать динамические уравнения движения в виде уравнений равновесия, так как при добавлении сил инерции к активным силам и силам реакций связей, действующим на систему, получается уравнове­шенная система сил. Но если система сил уравновешена, то к ней применим принцип возможных перемещений. Применение этих принципов к движущейся механической системе, на которую наложены идеальные стационарные голономные удер­живающие связи, позволяет сформулировать принцип Даламбе­ра—Лагранжа: Если к движущейся механической системе, на ко­торую наложены идеальные стационарные голономные удержива­ющие связи, условно приложить силы инерции всех ее точек, то в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении системы, то есть

, или , (6.13)

или

Действительно, умножив каждое из равенств (6.3), выражаю­щих принцип Даламбера для системы материальных точек, на , получим

, ( k=1,2,..., n).

Просуммируем эти равенства по всем точкам системы:

. (6.14)

Но при идеальных связях , и поэтому окончательно получаем

, (6.15)

что и требовалось доказать.

Равенство (6.15), выражающее принцип Даламбера — Лагран­жа, называется общим уравнением динамики.

Общее уравнение динамики применяется при составлении диф­ференциальных уравнений движения системы материальных то­чек с одной или несколькими степенями свободы.

П ример. Груз А массой т₁, который подвешен на не­весомой нерастяжимой нити, переброшенной через невесо­мый блок D и намотанной на шкив В радиусом R, заставля­ет связанный со шкивом вал радиусом r катиться без сколь­жения по горизонтальному рельсу (рис. 142). Общая мас­са шкива и вала равна т₂, их радиус инерции относитель­но центральной оси равен ρ. Найти ускорение груза А.

Решение. Связи, наложенные на систему, являются идеальными, поэтому приложим к системе только активные силы ( , ), и силы инерции ( ).

Рис. 6.6 При этом

Ф = m₁а, R^Ф= m₂а_О,

Так как из кинематики механизма следует, что

ω = v_А/(R - r), v_О = ωr = v_Аr/(R-r),

то a_O=ar/(R -r) и выражения для сил инерции и их момента примут вид

,

Дадим системе возможное перемещение ( ) и подсчитаем на нем сумму возможных работ:

Из кинематики следует, что и поэтому

Сократив на δs, окончательно получим

.