Вопросы для повторения

1. Зависит ли изменение кинетической энергии системы от внутренних сил?

2. Чему равны дифференциал кинетической энергии системы и ее производная по времени?

3. Зависит ли конечное приращение кинетической энергии си­стемы от траекторий, по которым переместились ее точки?

4. В каком случае кинетическая энергия движущейся системы остается постоянной?

5. Вследствие полученного толчка круглое однородное кольцо катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Как из­меняется его кинетическая энергия в процессе движения?

6. В каком случае при конечном перемещении механической системы ее кинетическая энергия не изменится?

7. Материальная точка падает на Землю без начальной ско­рости. Чему равна полная высота падения, если на последнем его участке высотой h кинетическая энергия точки увеличилась вдвое?

4.6.7.* Потенциальное силовое поле

Как было установлено, работа силы на конечном перемеще­нии точки ее приложения в общем случае зависит от траектории этой точки, а иногда и от закона ее движения по траектории. Од­нако практически во всех рассмотренных нами ранее примерах работа зависит лишь от начального и конечного положений точ­ки приложения силы, а это означает, что существует обширный класс сил, обладающих данным свойством. Поскольку процесс вы­числения работы таких сил на конечных перемещениях точек их приложения значительно упрощается, желательно иметь метод их определения, для получения которого введем ряд новых понятий.

В самом общем случае сила, приложенная к материальной точке, является функцией ее координат, скорости и времени. Если сила зависит только от координат точки ее приложения (и, может быть, еще от времени) или от взаимного расположения точек ма­териальной системы, то такая сила называется позиционной. Об­ласть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует позиционная сила, являющаяся однозначной ко­нечной и дифференцируемой функцией координат этой точки и времени, называется силовым полем. Поле называется стационар­ным, если сила явно не зависит от времени; в противном случае поле называется нестационарным.

Стационарное поле называется потенциальным, если сущест­вует функция

U(x, у, z), дифференциал которой равен элементар­ной работе силы поля , т. е.

dU = dA = d = F_x dx +F_y dy + F_zdz . (4.120)

Функция U называется потенциальной или силовой функцией или просто потенциалом силы.

Определим условия существования силовой функции. Полный дифференциал функции U(x, у, z), согласно его математическому определению, равен

.

С другой стороны, по определению функции U

dU = F_xdx + F_ydy +F_zdz .

Вычитая из последнего равенства предыдущее, получаем

.

Ввиду произвольности дифференциалов координат последнее ра­венство выполняется тождественно только в том случае, когда все коэффициенты перед dx, dy, dz равны нулю, т. е. когда

, , ,

или

, , . (4.121)

Последние соотношения служат вторым определением сило­вой функции: это функция координат точки, частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствую­щие координатные оси.

Взяв частные производные от правых и левых частей равенств (4.121), получим и , , и т. д. По свойству смешанных частных произ­водных и т. д. Отсюда окончательно полу­чим условия существования потенциальной функции силы (x,y,z)

, , . (4.122)

Таким образом, если выполняется условие (4.122), то силовое по­ле является потенциальным и полная работа силы на перемещении точки ее приложения из положения М₀ в положение М равна

. (4.123)

Следовательно, при перемещении точки в потенциальном поле полная работа приложенной к ней силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках и не зависит от формы траектории, по которой перемещение совершается. Это справедливо, если силовая функция однозначна, но в подавляю­щем большинстве задач условие однозначности выполняется.

Силы, действующие на материальную точку в потенциальном поле, называются потенциальными. К ним относятся силы тяже­сти, линейная сила упругости, силы тяготения и т. д. Силы сопро­тивления и, в частности, силы сухого трения потенциальными не являются.