4.6.5. Мощность

Мощность силы определяется работой, совершаемой силой в единицу времени. Так, если за время dt сила со­вершила работу, равную , то выражение для мощности силы принимает вид

,

то есть мощность силы — это величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Таким образом, при постоянной мощности увеличение скорости ведет к уменьшению силы и наоборот. Едини­цей измерения мощности является ватт (1 Вт =1 Дж/с).

Если сила приложена к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то ее мощность равна

, (4.116)

аналогично определяется и мощность пары сил. Мощность момента положительна, если его направление сов­падает с направлением вращения тела.

Вопросы для повторения

1. Чему равна кинетическая энергия материальной точки? .

2. Как подсчитать кинетическую энергию механической си­стемы?

3. Какой скоростью (абсолютной, переносной или относитель­ной) определяется кинетическая энергия материальной точки?

4. Две материальные точки т₁ > т₂ движутся по одной ок­ружности так, что модули их количеств движения одинаковы. Рав­ны ли их кинетические моменты относительно центра окружности и их кинетические энергии?

5. Как зависит от времени кинетическая энергия точки, совер­шающей равнопеременное движение с нулевой начальной скоростью?

6. Одно из двух тел равной массы с одинаковыми количества­ми движения совершает плоскопараллельное движение, а вто­рое поступательное. Какое тело имеет большую кинетическую энергию? Почему?

7. Два тела вращаются вокруг неподвижных осей так, что их кинетические моменты относительно этих осей одинаковы. Равны ли их кинетические энергии, если

J₁ <J₂?

8. Как определяется элементарная работа силы?

9. Когда элементарная работа силы равна нулю?

10. Чему равна работа сил, приложенных в мгновенном цент­ре скоростей?

11. Зависит ли работа силы на конечном перемещении от тра­ектории точки ее приложения?

12. Как должна двигаться система материальных точек, чтобы сумма работ сил тяжести ее точек была равна нулю?

13. Чему равна работа упругой силы?

14. Когда работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна пулю?

15. В каких механических системах сумма работ внутренних сил равна нулю?

16. Перечислите известные вам идеальные связи.

17. При каком движении твердого тела по шероховатой поверх­ности силы трения скольжения не совершают работу?

18. От каких величин зависит мощность силы? Мощность момента?

19. Когда мощность силы равна нулю?

4.6.6. Теорема об изменении кинетической энергии

Запишем для механической системы, состоящей из п материальных точек, дифференциальные уравнения движения в векторной форме (3.30):

, (k=1, 2,... ,n),

где и — соответственно равнодействующие внешних и внутренних сил системы, приложенных к k-й точ­ке. Умножим скалярно каждое из этих уравнений на элементарное перемещение соответствующей точки:

и преобразуем левую часть полученного равенства:

.

Учитывая, что ,

где кинетическая энергия k-й точки, а и — соответственно элементар­ные работы равнодействующих внешних и внутренних сил, приложенных к k-й точке, получаем

, k =1,2,..., п.

Сложим эти п равенств:

.

Так как операции суммирования и дифференцирования переместимы, то

,

где — кинетическая энергия системы. Итак, окончательно теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек запишется в виде

, (4.117)

то есть дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Если механическая система является неизменяемой или состоит из твердых тел, соединенных идеальными связями, то сумма работ внутренних сил равна нулю и в правой части формулы теоремы остается только сумма элементарных работ внешних сил, то есть в этом случае

.

Разделим уравнение (4.117) на элементарный отре­зок времени dt:

.

Но — мощность внешней силы ,— - мощность внутренней силы , и мы по­лучаем вторую форму записи теоремы об изменении ки­нетической энергии системы:

, (4.118)

которая читается так: производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, дей­ствующих на систему. Обе формы теоремы являются дифференциальными.

Проинтегрируем обе части формулы (4.118) от начального положения системы А до конечного положения В, в которых кинетическая энергия системы соответст­венно равна Т₀ и Т₁:

,

или

, (4.119)

где и — соответственно работы внешних и внутренних сил, приложенных к k-й точке системы, на ее перемещении из А в В.

Выражение (4.119) представляет собой запись теоре­мы об изменении кинетической энергии системы в интег­ральной форме: приращение кинетической энергии си­стемы на ее конечном перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил на этом перемещении. Для неизменяемой системы и поэтому для нее

.

Как показывают формулы (4.117)—(4.119), в отли­чие от предыдущих общих теорем динамики в теорему об изменении кинетической энергии системы в общем случае входят внутренние силы. Таким образом, непо­средственно за счет внутренних сил нельзя изменить ни количество движения системы, ни ее кинетический мо­мент, но можно изменить ее кинетическую энергию.