6. 2. Принцип Даламбера для системы материальных точек

Рассмотрим теперь механическую систему, состоя­щую из п материальных точек. Запишем дифференци­альные уравнения движения этой системы в векторной форме;

(k = 1, 2, ..., n),

где — равнодействующая активных сил, приложенных k-й точке, a — равнодействующая реакций связей, наложенных на эту точку.

Если ввести в рассмотрение силы инерции каждой точки то эти уравнения примут вид

(k = 1, 2, .. , п). (6.3)

Система уравнений (6.3) выражает принцип Даламбе­ра для системы материальных точек: если к каждой точ­ке движущейся механической системы условно прило­жить соответствующую силу инерции, то в любой момент движения, действующие на эту точку активные силы (внешние и внутренние), силы реакций связей и сила инерции образуют уравновешен­ную систему сил.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при его применении уравнения движения точки и системы составляются в форме уравнений равновесия. Метод ре­шения динамических задач с помощью принципа Далам­бера называют методом кинетостатики.

Однако для решения задач применяют не сам прин­цип Даламбера, а следствия из него. Для их вывода представим равнодействующую сил, приложенных к k-й точке системы, в виде двух составляющих: равнодейст­вующей внешних сил, приложенных к точке, и равно­действующей внутренних сил, приложенных к точке, то есть

.

Тогда система уравнений (6.3), выражающих принцип Даламбера, запишется в виде

, (k =1,2,..,n). (6.4)

Для каждой материальной точки сумма моментов этих уравновешенных сил относительно любого центра О так­же равна нулю, то есть

, (k=1,2,...,п). (6.5)

Суммируя все уравнения системы (6.4) и системы (6.5), получаем

,

.

Но по свойству внутренних сил их главный вектор и главный момент равны нулю, , и поэтому

, , (6.6)

то есть главный вектор и главный момент относительно лю­бого центра приложенных к системе внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю. Это и есть следствия из принципа Даламбера, которыми пользуются при ре­шении задач.

Спроектировав уравнения (6.6) на оси координат, получим аналитические зависимости:

, ,

, , (6.7)

, .

При практическом использовании уравнений (6.6) или (6.7) чаще всего не прикладывают силы инерции к каждой точке системы с тем, чтобы затем найти их главный вектор и главный момент, а используют гото­вые выражения для главного вектора и главного момен­та сил инерции механической системы. Выведем эти вы­ражения.

Из первого уравнения (6.6) следует, что главный вектор сил инерции механической системы равен

,

а, согласно теореме о движении центра масс системы, главный вектор внешних сил системы равен

,

где М - масса системы, — ускорение центра масс. По­этому

, (6.8)

то есть главный вектор сил инерции механической системы равен массе системы, умноженной па ускорение ее цент­ра масс, и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.

Из второго уравнения (6.6) находим, что главный момент сил инерции относительно произвольного цент­ра О равен

.

Но по теореме об изменении кинетического момента

и поэтому

. (6.9)

То есть главный момент сил инерции системы относительно точки О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента системы относи­тельно того же центра.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвиж­ной оси z, главный момент сил инерции относительно этой оси равен

. (6.10)

С помощью принципа Даламбера просто и наглядно решаются задачи, в которых по заданному движению си­стемы надо определить реакции наложенных на нее свя­зей. При этом исключаются все наперед неизвестные внутренние силы. При определении реакции внутренних связей систему следует расчленить так, чтобы искомые реакции стали внешними силами. Принцип дает возмож­ность составить дифференциальные уравнения движения системы и определить ускорение движущихся тел.

Пример. Через блок массой т₃ перекинута гибкая нить, к концам которой прикреплены грузы M₁ массой m₁ и М₂ мас­сой т₂ (рис. 6.4); т₁ = 3т, т₂ = 6т, т₃ = 2т. Найти ускорение грузов и реакцию оси блока, считая его однородным круг­лым диском.

Решение. Изобразим на схеме дей­ствующие на систему активные силы , , и реакцию оси блока . Так как

Рис. 6.4 P₂ > P₁, ускорение груза M₂ направлено вниз, груза M₁ — вверх, а угловое ускорение блока - по хо­ду часовой стрелки. Приложим к системе силы инерции и главный момент сил инерции блока , модули которых соответственно равны

Ф₁ = m₁а₁= m₁а, Ф₂= m₂а₂= m₂а, M_z^Ф = J_zε = m₃rω/2,

так как a₁ = a₂ = a, ε = ω/r.

Чтобы найти ускорение, составим уравнение моментов получен­ной системы сил относительно точки О;

или

,

откуда

.

Чтобы найти реакции оси блока, составим условия равновесия сил в проекциях на оси х и у:

,

.

Таким образом, реакция оси блока вертикальна и равна

Yо = N = P₂ + P₁ + P₃ + Ф₁ – Ф₂=

= P₁+ P₂ + Р₃ +(т₁ - т₂)ω = 10,1 mg.