4.3.10. Моменты инерции простейших однородных тел
1. Тонкий
стержень. Определим момент
инерции тонкого однородного стержня
относительно оси z, проходящей
через его конец (рис. 4.40). На расстоянии
х от оси z выделим
элемент стержня длиной Δx. Если масса
стержня m, то масса выделенного
элемента
,а
искомый момент инерции стержня равен
,
где
суммирование ведется по всей длине
стержня. Пусть
;
тогда сумма становится
Рис. 4.40 интегральной, и мы получаем
(4.65)
Для того чтобы получить момент инерции стержня относительно оси ZС, , проходящей через его центр масс, применим теорему Гюйгенса — Штейнера:
,
откуда
,
(4.66)
2
.
Тонкий обруч. Пренебрегая
толщиной и шириной обруча, определим
его момент инерции относительно оси Oz
(рис. 4.41). Для этого разобьем обруч на
бесконечно малые элементы массой Δm;
тогда
Рис. 4.41
,
(4.67)
где
m =
—масса
обруча. Так как толщиной обруча мы
пренебрегли, то нетрудно видеть, что Jz
=JO,
где JO
— полярный момент инерции обруча
относительно его центра.
Кроме того, ввиду
симметрии обруча, очевидно, что Jx
= Jy.
Поэтому, воспользовавшись связью между
полярным и осевыми моментами инерции
(4.61), получим
или
,
то есть
(4.68)
3
.
Тонкий круговой диск. Выделим
в диске элементарное кольцо радиусом
ρ и шириной Δρ (рис. 4.42). Его масса
,
а его момент инерции относительно оси
Оz
.
Момент инерции диска относительно той же оси найдется как сумма моментов инерции всех элементарных колец, на которые
Рис. 4.42 можно разбить диск:
.
Переходя к пределу при Δρ→0, заменим сумму интегралом и получим
.
(4.69)
Моменты инерции относительно осей Ох и Оу определяются тем же методом, что и для обруча. Вывод предоставляем сделать читателю, а результаты приводим для справки:
. (4.70)
4
.
Прямой круговой цилиндр.
Разобьем цилиндр на элементарные
диски толщиной Δz (рис. 4.43); масса
каждого из этих дисков равна
,
а его момент инерции относительно оси
Oz определяется формулой
(4.67);
.
Момент инерции цилиндра относительно оси Oz равен сумме
Рис. 4.43 моментов инерции всех элементарных дисков относительно той же оси, то есть
(4.71)
где
= h — высота цилиндра.
5. Тонкая прямоугольная пластина. Очевидно, что моменты инерции тонкой однородной пластины, стороны которой длиной а и b совпадают с осями Ох и Оу соответственно, относительно этих осей будут определяться так же, как и для стержня, т.е.
,
,
(4.72)
величина же Jz найдется, из равенства 2JО=Jх+Jу+Jz
с учетом того, что Jz = JО, так как пластина бесконечно тонкая. Таким образом, 2Jz=Jх+Jу+Jz , или
.
(4.73)
Вопросы для повторения
1. Назовите число дифференциальных уравнений движения системы п материальных точек и укажите их вид.
2. Под действием каких двух сил свободное твердое тело будет находиться в покое?
3. Можно ли переносить силу вдоль линии действия, не изменяя ее действия на твердое тело?
4. Какая система сил называется сходящейся?
5. Как определяется центр тяжести твердого тела?
6. Что называется моментом силы относительно точки?
7. Что называется алгебраическим моментом силы относительно точки?
8. Как определяется момент силы относительно оси?
9. Когда момент силы относительно оси равен нулю?
10. Какая совокупность сил называется парой сил?
11. Чему равен момент пары сил? Как он направлен?
12. Перечислите основные свойства пары сил, приложенной к твердому телу.
13. Чему равны главный вектор и главный момент системы сил, приложенных к твердому телу?
14. Перечислите свойства внутренних сил механической системы.
15. Что надо добавить при параллельном переносе силы, чтобы не изменить ее действие на тело?
16. Чем заменяется произвольная система сил при приведении ее к заданному, центру?
17. Чему равна масса системы материальных точек?
18. Как определяется центр масс механической системы?
19. Какими величинами характеризуется распределение масс в механической системе?
20. Какие оси называются главными центральными осями инерции?
21. Как связаны моменты инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела?