4.1.3. Связи и реакции связей

Основные Законы механики Галилея — Ньютона сфор­мулированы для свободной материальной точки, то есть для точки, на перемещение которой не наложено никаких ограничений, и движение которой зависит только от на­чальных условий и действующих на нее сил. Однако как в природе, так и в искусственных сооружениях и маши­нах, созданных человеком, мы чаще имеем дело с несво­бодными материальными телами, перемещения которых в пространстве ограничены другими телами. Любое тело, ограничивающее свободу перемещения данного тела, на­зывается связью, наложенной на это тело. Например, для лампы, подвешенной на шнуре, связью является шнур; для книги, лежащей на столе, связью является стол; для двери, подвешенной на петлях, связями являются пет­ли и т. д.

Таким образом, ограничения, налагаемые на положе­ние и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах, называются связями, наложенными на механиче­скую систему. Силы, с которыми связи действуют на рассматриваемое тело, называются реакциями связей. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием и приложена к телу. Эти силы, будучи равны по модулю и противоположны по направлению, не являются взаимно уравновешенны­ми, так как они приложены к разным телам.

В механической системе ограничения на перемещения и скорости ее точек (тел) накладываются как со стороны тел, не входящих в систему, так и со стороны точек (тел) самой системы. В соответ­ствии с этим делением и реакции связей подразделяются на внешние и внутренние.

Связи, осуществляемые телами, не вхо­дящими в рассматриваемую механическую систему, на­зываются внешними, а связи, взаимно осуществляемые точками (телами) системы,— внутренними.

В отличие от всех остальных сил, действующих на механическую систему и называемых активными силами, реакции внешних и внутренних связей называются пас­сивными. Модуль и направление каждой активной силы не зависит от других сил, приложенных к системе (на­пример, силы тяжести и др.), модули же и направления реакций связей зависят от сово­купности действующих на систе­му сил, а также и от движения системы.

Анализ состояния движения или равновесия несвободной меха­нической системы, то есть системы, на которую наложены связи, ос­нован на принципе освобождаемости от связей (аксиоме связей). В соответствии с аксиомой связи любую несвободную механическую систему (не­свободное тело, несвободную точку) можно рассматривать как свободную, если ее мысленно освободить от связей, заменив их действия на систему соответствующими реак­циями связей.

Правильное определение направлений реакций свя­зей играет очень важную роль при решении задач ки­нетики. Поэтому рассмотрим основные виды связей и их реакции. При установлении направления реак­ции связи используется правило, по которому направле­ние реакции связи противоположно тому, куда связь не дает перемещаться телу.

1. Г ладкая поверхность (рис. 4.1). Поверхность назы­вается гладкой, если при решении данной задачи можно пренебречь силами трения, возникающими в точках кон­такта с поверхностью рассматривае-мого тела. Такая связь препятствует

Рис. 4.1 перемещению тела только в направле-нии общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точках их контакта. Поэтому реакция данной связи N направлена по этой общей нормали и приложена в точ­ке касания тел.

2. Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь и др.) (рис. 4.2). Эта связь не дает перемещаться телу только вдоль линии натяжения нити, поэтому ее реакция Т направлена вдоль нити к точке подвеса.

Рис. 4.2 Рис. 4.3

3. Гладкий цилиндрический шарнир или подшипник (рис. 4.3). Часто отдельные части конструкции соединя­ются друг с другом шарнирами. Шарнир — устройство, допускающее относительное вращение соединенных с его помощью тел. Если трением в шарнире пренебре­гают, то он называется гладким. Цилиндрический шар­нир позволяет соединенным с его помощью телам пово­рачиваться вокруг оси шарнира и скользить вдоль этой оси. Конструктивно это соединение можно представить (рис. 4.3, а) в виде цилиндрического стержня О, встав­ленного в цилиндрическое отверстие тела А.

В зависимости от нагрузки поверхности стержня и от­верстия соприкасаются в какой-то точке В. Поэтому ре­акция (силами трения пренебрегаем) будет направлена по нормали к этим поверхностям в точке их соприкос­новения. Указать заранее эту точку невозможно, и о ре­акции можно сказать только то, что она лежит в плоско­сти, перпендикулярной оси шарнира. Поэтому при осво­бождении тела от шарнирной связи реакцию R_О (рис, 4.3, б) раскладывают на две составляющие Х_О и Y_О, параллельные осям координат в плоскости, перпендику­лярной оси шарнира. В процессе решения задачи нахо­дят каждую из них, а по составляющим находят модуль и направление полной реакции:

, , .

Шарнирные опоры могут быть подвижными и неподвижными.

П одвижная шарнирная опора (рис. 4.4, опоры А) дает возможность балке поворачиваться вокруг нее и пе­ремещаться или вдоль плоскости катков (рис. 4.4, а), или в направлении

Рис. 4.4 перпендикулярном оси стержня опоры (рис. 4.4, б). В направлениях же, перпендикулярных рас­смотренным, перемещения балки исключены. Поэтому реакция данной опоры n_a направлена или перпендику­лярно плоскости катков, или вдоль стержня опоры.

Неподвижная шарнирная (рис. 4.4, опоры В) дает возможность балке только поворачиваться вокруг нее в плоскости чертежа, то есть является цилиндрическим шарниром. Поэтому направление реакции R_В заранее не­известно, и ее раскладывают на две составляющие Х_В и Y_В.

4. Сферический (шаровой) шарнир и подпятник (рис. 4.5). Сферический шарнир (рис. 4.5, a) допускает относительное вращение соединяемых тел вокруг трех осей, но препятствует любым перемещениям точки креп­ления (примером сферического шарнира может служить крепление рукоятки переключения скоростей большин­ства автомобилей). В связи с этим направление реакции сферического шарнира R_O заранее неизвестно. Поэтому при освобождении от данного вида связи реакцию рас­кладывают на три составляющие: Х_O, Y_O, Z_O, определяе­мые в ходе решения задачи. По составляющим находят модуль и направление полной реакции:

,

, , .

Подпятник А (рис. 4.5, б) представляет собой соеди­нение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью,

Рис. 4.5

препятствующей осевым перемещениям тела. Реакция подпятника, так же как и сферического шарнира, может иметь любое направление в пространстве и при отбрасы­вании связи раскладывается на три составляющие: Х_А Y_А, Z_А.,

5. Невесомый жесткий стержень (рис. 4.6). Если связь осуществляется посредством невесомого жесткого стерж­ня, концы которого закреплены шарнирно и который на­гружен только в этих шарнирах (стержни АВ и CD на рис. 4.6), то его реакция (S₁ и S₂) направлена вдоль пря­мой, соединяющей шарниры (вдоль АВ и CD), так как такой стержень препятствует перемещениям скрепленно­го с ним тела только вдоль этой прямой.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Решения многих задач статики сводятся к определе­нию реакций опор, с помощью которых закрепляются бал­ки, мостовые фермы и т. д.

6. Жесткая заделка. Примером тела, на которое наложена та­кая связь, может служить балка с замурованным в стену концом (рис. 4.7). Заделка исключает все перемещения тела — и вращательные, и поступательные. При действии на балку плоской системы сил в заделке возникает пара сил (см п. 4.3.5) с моментом т_А - реактивный мо­мент, препятствующий повороту балки, и произвольно направленная сила реакции R_а, препятствующая поступательным перемещениям. Эту силу заменяют двумя составляющими ее Х_А и Y_А.

7. Связи с трением. Рассмотренные виды связей: гладкая поверхность, ци­линдрический шарнир, сферический шарнир и т. д., яв­ляются идеализированными, так как при их анализе мы предполагаем, что реакция в точке контакта двух тел направлена по общей нормали к соприкасающимся по­верхностям. В действительности же она отклоняется от нормали за счет возникновения составляющей, перпен­дикулярной нормали и препятствующей относительному скольжению тел (рис. 4.8). Эта составляющая полной ре­акции называется силой трения скольжения и возникает из-за шероховатостей соприкасающихся поверхностей и наличия сцепления у прижатых друг к другу тел.