4.4. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс

4.4.1. Количество движения материальной точки и системы материальных точек. Элементарный и полный импульсы силы.

Общие теоремы динамики позволяют нам, не исследуя движения каждой точки механической системы, находить общие динамические характеристики движения системы. Эти теоремы устанавливают связь между данными динамическими характеристиками (количеством движения, кинетическим моментом, кинетической энергией) и действующими на систему силами. Применение теорем избавляет от необходимости каждый раз при непосредственном использовании дифференциальных уравнений движения системы точек производить операции суммирования и интегрирования, которые уже были выполнены при выводе данных теорем. При некоторых условиях для действующих на систему сил теоремы позволяют просто получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени.

Одной из динамических характеристик движения материальной точки и системы точек является количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости:

. (4.74)

Направление вектора совпадает с направлением вектора скорости точки . Единицей количества движения является кг·м/с.

Количеством движения системы п материальных точек называется геометрическая сумма количеств движения всех точек системы:

. (4.75)

Из определения центра масс механической системы следует, что . Взяв производную по времени от этого равенства, получим, что или , следовательно,

, (4.76)

где M — масса системы, a — скорость ее центра масс. Проекции количества движения на оси прямоугольной системы координат записываются в следующем виде:

Из формулы (4.76) следует, что количество движения системы определяется движением ее центра масс, т. е. движением лишь одной точки системы. Если рассматривать движение системы как сложное, состоящее из поступательного переносного движения вместе с центром масс и относительного движения по отношению к системе, имеющей начало в центре масс и движущейся поступательно, то количество движения характеризует только переносное поступательное движение, то есть не характеризует движение системы в целом. Например, если тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс системы, то скорость центра масс, а следовательно, и количество движения тела равны нулю, поэтому в данном случае количество движения никак не определяет движение тела.

Рассмотрим пример определения количества движения механической системы.

П ример. Найти количество движения механической системы (рис. 4.44, а), состоящей из тела А массой т_А = 2 кг, блока В массой т_В =1 кг и колеса D массой т_D = 4 кг. Тело А движется со скоростью v = 2 м/с, колесо D катится без скольжения.

Решение. Для определения количества движения каждого тела применим формулу , а для определения количества движения системы тел — формулу .

Рис. 4.44 Тело А движется

поступательно, поэтому , то есть Q_А= 4 кг·м/с, и направление совпадает с направлением . Центр масс блока В неподвижен, следовательно, . Мгновенный центр скоростей колеса D находится в точке Р, поэтому скорость его центра масс (точки С₂) , количество движения = 4 кг·м/с, и вектор направлен горизонтально влево.

Количество движения системы равно

Решив это уравнение графически (рис. 4.44, б), найдем, что Q = 4√2 кг∙м/с.м

Эффект действия силы на материальную точку или систему точек зависит не только от модуля силы и массы точки или системы, но и от продолжительности действия силы. Для характеристики действия, которое производится приложенной к телу силой за некоторый промежуток времени, вводятся понятия элементарного импульса и импульса силы за конечный промежуток времени.

Элементарный импульс силы - это векторная мера действия силы, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени ее действия dt: