4.5.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

П усть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz (рис. 4.49) под действием системы внешних сил .

Чтобы исключить из рассмот­рения неизвестные реакции и запишем уравнение теоремы об изме­нении кинетического момента системы в проекциях на ось вращения:

.

Рис. 4.49

Как известно, кинетический момент твердого тела относительно оси враще­ния равен , где = const — мо­мент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому

и окончательно дифференциальное уравнение вращатель­ного движения твердого тела запишется так:

(4.98)

Это уравнение по своей структуре аналогично основному уравнению динамики точки. В нем роль массы игра­ет момент инерции, ускорения — угловое ускорение тела, а суммы сил — сумма моментов сил относительно оси вращения.

Пример. Твердое тело приводится во вращение вокруг не­подвижной вертикальной оси из состояния покоя парой сил с по­стоянным моментом М Н·см. При этом возникает момент сил со­противления M₁, пропорциональный угловой скорости тела: М₁ = αω Н·см. Момент инерции тела относительно оси вращения равен J кг·см², "Найти уравнение движения тела.

Решение. Для решения задачи применим дифференциаль­ное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

.

Сила тяжести Р и реакции подшипников и не создают мо­ментов относительно оси z, так как первая параллельна оси а две последние ее пересекают. Следовательно,

.

Разделим переменные ω, t и проинтегрируем:

, .

По начальным условиям (t = 0, ω = 0) находим C₁:

C₁ = - (J/α) ln М. Отсюда

, или .

Потенцируя и разрешая относительно , находим закон изменения угловой скорости:

.

Разделяя переменные φ, t и интегрируя, найдем уравнение движе­ния тела:

.

Полагая, что при t = 0 и φ_О= 0, найдем C₂ = —MJ/a², и окончательно

.

Вопросы для повторения

1. Чему равен кинетический момент материальной точки отно­сительно центра?

2. Материальная точка массой m движется с постоянной ско­ростью v по эллипсу с полуосями а и b (а >b). Каковы экстре­мальные значения ее кинетического момента относительно центра эллипса?

3. Когда кинетический момент материальной точки относи­тельно оси равен нулю?

4. Будет ли изменяться кинетический момент относительно неподвижного центра тела, движущегося поступательно, прямоли­нейно и равномерно?

5. Через невесомый барабан радиусом R, вращающийся с угло­вой скоростью ω вокруг горизонтальной оси, перекинут трос мас­сой m так, что оба конца троса свешиваются с барабана (толщи­ной троса можно пренебречь). Чему равен кинетический момент троса относительно оси вращения?

6. Чему равен кинетический момент твердого тела относитель­но оси вращения?

7. Сформулируйте теорему об изменении кинетического мо­мента системы.

8. Можно ли за счет внутренних сил изменить кинетический момент механической системы?

9. В каких случаях кинетический момент системы или его проекция на заданную ось остаются постоянными?

10. Может ли сила тяжести изменить кинетический момент си­стемы относительно вертикальной оси?

11. Как зависит от времени кинетический момент механической системы относительно заданной оси, если проекция главного мо­мента внешних сил на эту ось постоянна?

12. За счет чего человек, вначале стоящий неподвижно на глад­кой горизонтальной плоскости, может повернуться вокруг своей вертикальной оси?

13. Дайте возможное объяснение тому факту, что кошка всегда падает на лапы.

14. Запишите дифференциальное уравнение вращательного дви­жения твердого тела вокруг неподвижной оси; сравните его с основными уравнениями динамики материальной точки.

15. В каком случае твердое тело равномерно вращается вокруг неподвижной оси?

16. При каком условии физический маятник будет совершать гармонические колебания?