4.6.8.* Потенциальная энергия

Если силовое поле является потенциальным, то наряду с рас­смотренной выше функцией U можно ввести другую скалярную функцию, называемую потенциальной энергией, и определяющую запас энергии материальной точки, помещенной в данном пункте силового поля.

Потенциальной энергией П точки называется скалярная ве­личина, равная работе, которую производит сила, действующая на материальную точку, находящуюся в потенциальном силовом по­ле, при перемещении этой точки из положения М в положение M₀:

. (4.124)

Постоянная С₀ = U₀ зависит от того, какая точка поля выбрана за «нулевую» для потенциальной энергии, и, следовательно, явля­ется одной и той же для всех точек поля. Не уменьшая общности, эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда

. (4.125)

Из определений силовой функции и потенциальной энергии следует, что проекции силы поля и работа силы на конечном пе­ремещении точки ее приложения могут быть выражены через по­тенциальную энергию. Действительно, используя уравнения (4.121) и (4.125), получаем

, , . (4.126)

Из уравнений (4.120) и (4.124) следует, что dA = dU = - dП, и поэтому при перемещении точки из начального положения M₁ в конечное М₂ работа приложенной к ней силы равна

А = U₂ – U₁ = П₁ - П₂. (4.127)

Если в потенциальном силовом поле движется система материальных точек, то силовая функция и потенциальная энергия этой системы равны соответственно сумме силовых функций или сумме потенциальных энергий всех точек системы, т. е.

, . (4.128)

При этом dU = ∑dU_k,, dП = ∑dП_k и, следовательно,

dU = - dП = ∑dA_k (4.129)

Таким образом, дифференциал силовой функции системы будет равен сумме элементарных работ всех действующих на систе­му сил.

В качестве примера вычисления силовой функции и, следова­тельно, потенциальной энергии определим силовую функцию однородного поля силы тяжести. Если ось Oz направить вертикаль­но вверх, то проекции силы тяжести на оси координат будут Р_х = Р_у = 0, P_z = -тg. Условия существования силовой функции выполняются, так как

.

Определим эту функцию:

dU = dA =Р_х dx+Р_у dy + Р_z dz = - mg dz,

откуда

U = -∫mg dz = -m gz + С.

Потенциальная же энергия силы тяжести запишется в виде

П = —U + C₁ = m gz + С'.

4.6.9*. Закон сохранения механической энергии

Теорему об изменении кинетической энергии системы матери­альных точек можно записать в виде

.

Если все внешние и внутренние силы, действующие на систему, являются потенциальными, то ∑dA_k= dU = - dП, где dΠ — диф­ференциал потенциальной энергии внутренних и внешних сил си­стемы. Поэтому

dT = - dΠ.

Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах соот­ветствующих перемещению системы из некоторого начального по­ложения, в котором кинетическая и потенциальная энергии си­стемы имеют значения Т₀ и П₀, в некоторое конечное положение, в котором кинетическая и потенциальная энергии равны Т₁ и Π₁, получим

Т₁ - Т₀ = - Π₁+Π₀, или T₁ + Π₁ = Т₀ + П₀ = const.

Сумма кинетической и потенциальной энергий материальной си­стемы называется ее механической анергией и обозначается Е.

Следовательно, при движении системы материальных точек в потенциальном силовом поле ее механическая энергия остается неизменной, то есть

Е =Т + П = const. (4.130)

Это положение выражает закон сохранения механической анергии.

Механические системы, для которых выполняется закон со­хранения механической энергии, называются консервативными (консервативными называются в этом случае и потенциальное си­ловое поле, в котором происходит движение системы, и силы).

При наличии сил сопротивления движению часть механиче­ской энергии переходит в другие формы энергии (тепловую, хи­мическую и т. д.). Происходит, как говорят, диссипация, т. е. рас­сеивание механической энергии, и поэтому данные силы называ­ются диссипативными.