4.4.3. Теорема о движении центра масс

В формулу теоремы об изменении количества движения

подставим выражение количества движения системы , где М — масса системы, a — скорость ее цент­ра масс. В результате получим формулу теоремы о дви­жении центра масс:

= .

Так как масса системы постоянна, то окончательно

= , или , (4.86)

По внешнему виду это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением движения материальной точки, и поэтому теорема о движении центра масс формулируется следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

В проекциях на оси координат теорема запишется так:

, , . (4.87)

Из этих формул следует, что движение центра масс за­висит только от внешних сил, внутренними же силами изменить положение центра масс нельзя. Например, при отсут­ствии сил трения автомобиль не мог бы двигаться по го­ризонтальной дороге, потому что силы давления в цилин­драх двигателя являются внутренними и не влияют на движение центра масс. При отсутствии же сил трения между колесами и дорогой внешние силы (вес автомобиля и реакция дороги) вертикальны и сумма их проек­ций на горизонтальную ось равна нулю. Поэтому вначале неподвижный автомобиль будет буксовать на месте, а дви­гавшийся с определенной скоростью будет продолжать равномерное прямолинейное движение, что и встречается на практике, когда машина застревает в грязи или теря­ет управление, попадая на скользкий участок дороги. Движение автомобиля происходит за счет сил трения между его ведущими колесами и дорогой; это силы пре­пятствуют пробуксовыванию колес и «толкают» машину вперед.

Незнание того фундаментального положения, что внутренними силами нельзя изменить положение центра масс системы, порождало и иногда продолжает порождать фантастические проекты машин, которые в своей основе сводятся к принципу, использованному знаменитым ба­роном Мюнхгаузеном, который, схватив сам себя за воло­сы, вытащил себя; а заодно и своего коня, из болота.

Если главный вектор внешних сил равен нулю, то есть , то скорость центра масс остается постоянной: = const. Если же одна из проекции главного вектора внешних сил равна нулю, то соответствующая проекция скорости центра масс остается постоянной. Например, если = 0, то = const и т. д. Эти положения но­сят название закона сохранения движения центра масс.

Теорема о движении центра масс всегда применяется при исследовании движения центра масс системы. Методика решения задач в этом случае не отличается от той, которую мы применяли в динамике материальной точки. Теорема с успехом может заменить во многих случаях теорему об изменении количества движения системы. Ее особенно удобно применять в тех случаях, когда выпол­няется закон сохранения движения центра масс.

4.4.4. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

При поступательном движении твердого тела ускорения всех его точек в каждый момент времени одинаковы и, следовательно, равны ускорению центра масс тела. А так как ускорение центра масс определяется тео­ремой о движении центра масс системы, то эту теорему можно использовать для исследования поступательного движения твердого тела. В векторной форме дифферен­циальное уравнение поступательного движения имеет вид

,

где М — масса тела, a — ускорение его произвольной точки.

Спроектировав это равенство на оси координат, получим дифференциальные уравнения поступательного дви­жения твердого тела в проекциях на прямоугольные оси координат:

, , , (4.88)

где х, у, z — координаты произвольной точки тела.

Полученные уравнения аналогичны дифференциальным уравнениям движения материальной точки, поэтому при поступательном движении твердого тела его можно рассматривать как материальную точку, к которой при­ложены все силы, действующие на тело.