Вопросы для повторения

1. Что называется силовым полем?

2. Какое силовое поле называется стационарным?

3. Какое силовое поле называется потенциальным?

4. При каких условиях существует силовая функция?

5. Как определяется работа потенциальной силы на конечном перемещении точки ее приложения?

6. Как связаны между собой силовая функция и потенциаль­ная энергия силы?

7. Чему равна механическая энергия системы материальных точек?

8. Когда механическая энергия системы остается постоянной?

9. Как изменяется механическая энергия системы при дейст­вии на нее диссипативных сил?

5. Статика

5.1. Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу

Как было указано ранее (п.4.1) статикой называ­ется раздел кинетики, в котором изучаются операции преобразования систем сил в эквивалентные им и условия равновесия механических систем под действием при­ложенных к ним сил. Здесь мы будем рассматривать только условия равновесия твердого тела по отношению к инерциальной системе отсчета.

С равновесием механической системы и, в частности, твердого тела непосредственно связано понятие равнове­сия системы сил. Система сил находится в равновесии (является уравновешенной), если, будучи приложенной к свободному абсолютно твердому телу, находящемуся в равновесии, она не выведет тело из этого состояния.

Состояние движения (а, следовательно, и состояние покоя как частного случая движения) твердого тела полностью определяется двумя его векторными мерами движения: количеством движения и кинетическим моментом относительно какой-либо неподвижной точки О . Это означает, что движения двух одинаковых твердых тел при одинаковых началь­ных условиях будут идентичны, если в каждый момент времени их количества движения и кинетические момен­ты относительно одного и того же центра будут соответ­ственно равны между собой. В самом деле, количество движения определяет движение центра масс тела (п. 4.4), а кинетический момент - еще и вращение тела во­круг его центра масс (п. 4.5). Таким образом, если количество движения и кинетический момент относитель­но неподвижного центра твердого тела равны нулю и в начальный момент тело неподвижно, то это означает, что тело находится в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета.

Используя теоремы об изменении количества движения и кинетического момента:

, ,

найдем необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу.

Пусть свободное твердое тело находится в покое при действии на него системы внешних сил ( ). Тогда скорости всех его точек равны нулю и, следовательно, тождественно равны нулю его количество движе­ния и кинетический момент относительно любой непод­вижной точки, то есть

= const = 0,

= const = 0.

Поэтому =0 и =0 и мы получаем необходимые условия равновесия системы сил:

=0, =0

Эти условия будут и достаточными. Действительно, пусть свободное твердое тело, на которое не действуют силы, находится в покое, то есть в этот момент _нач= 0, _нач= 0.

Приложим к нему систему сил, главный вектор и глав­ный момент которой относительно точки О равны нулю ( =0, =0). Состояние покоя тела не нарушается, так как и количество движения, и кинетический момент тела сохранят свои нулевые зна­чения:

= 0, откуда = const = _нач= 0,

=0, откуда = const = _нач= 0.

Следовательно, для равновесия системы сил, приложен­ных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент относительно любой неподвижной точки пространства были равны нулю:

= 0 , = 0. (5.1)

Полученные уравнения представляют собой вектор­ные условия равновесия произвольной системы сил, при­ложенных к твердому телу. Для вывода аналитических условий проведем через точку О систему координат Oxyz, спроектируем на оси этой системы уравнения (5.1) и получим

, , , (5.2)

, ,

.

Полученные уравнения и являются аналитическими ус­ловиями равновесия произвольной системы сил. Таким образом: для равно­весия произвольной системы сил, приложенной к твер­дому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из трех осей координат равнялась нулю и чтобы алгебраическая сум­ма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю. Данные условия называются также уравнениями равновесия свободного твердого тела, так как этими равенствами пользуются для определения неизвестных сил, входящих в задачи статики.

В случае исследования равновесия несвободного тела пользуются аксиомой связей, на основании которой тело с наложенными на него связями можно считать свобод­ным, если мысленно отбросить связи и заменить их дей­ствие на тело реакциями связей. Основные типы связей уже рассматривались в п. 4.1.3, но здесь стоит на­помнить их (рис. 5.1). Это: гладкая поверх­ность (рис. 121, а), шероховатая поверхность (рис. 5.1, б), гибкая нерастяжимая нить (рис. 5.1, в), невесомый жесткий стержень (опора А на рис. 5.1, ж), цилиндри­ческий и сферический шарниры (рис. 5.1, г и 5.1, д со­ответственно), подпятник (рис. 5.1, е), подвижная шар­нирная опора (опора В на рис. 5.1, ж) и, наконец, за­делка (рис. 51, з) для случая системы, активных сил, действующих в плоскости чертежа.

Рис. 5.1

В результате решения задач статики, т. е. исследова­ния равновесия твердого тела, определяются неизвест­ные силы (активные и реакции связей), обеспечивающие равновесие тела, геометрические параметры механиче­ской системы, обеспечивающие ее равновесие, или поло­жения равновесия механической системы. При этом число неизвестных величин не должно превышать количе­ства уравнений равновесия. Если это условие выполняет­ся, то задача называется статически определимой. В про­тивном случае задача становится статически неопредели­мой и для ее решения необходимо принимать во внима­ние деформации тел. Такие задачи рассматриваются в курсе сопротивления материалов.