2.6. Числовий приклад
Проілюструємо теорію економічного аналізу на прикладі функції споживання Кейнса. Пригадаємо, за Кейнсом, “фундаментальним психологічним законом є те, що чоловіки (жінки) налаштовані, як правило, в середньому, збільшувати обсяг споживаних благ у міру зростання свого доходу, але в меншій мірі, ніж збільшується дохід, тобто гранична схильність до споживання (MPC) більше нуля, але менше одиниці”. Хоча Кейнс не вказує точний вид функціональної залежності між споживанням і доходом, для простоти припустимо, що співвідношення лінійне
. |
|
Для перевірки теорії Кейнса скористаємося даними вибірки, наведеними в табл. 1.3. Оцінка лінії регресії (рис. 2.14), отже, має вигляд
|
|
.
Рис. 2.14. Лінія вибіркової регресії
|
(2.6.1) |
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.Оцінена лінія регресії має такий вигляд:
. |
(2.6.2) |
Відповідно
до висловленого вище отримані результати
можна інтерпретувати таким чином. Кожна
точка на лінії регресії являє собою
оцінку очікуваної або середньої величини
Y,
відповідної вибраному значенню Х;
тобто
оцінка
.
Величина
,
визначаюча кутовий коефіцієнт лінії
регресії показує, що для вибірки з
областю зміни Х
доходу
за місяць між 80 дол. і 260 дол. зі зростанням
Х
на
1 дол. оцінка збільшення середніх витрат
сім’ї на споживання складає близько
51 цента. Величина
,
визначаюча точку перетину лінії регресії
з віссю Y,
означає середні граничні витрати сім’ї,
що має нульовий рівень доходів. Звичайно,
це суто механічна інтерпретація
коефіцієнта
.
У регресійному аналізі подібна
інтерпретація не завжди відповідає
значенню задачі, хоча в нашому прикладі
на користь подібного трактування можна
сказати, що сім’я без доходу (через
безробіття, скорочення виробництва та
под.) може підтримувати деякий мінімальний
рівень споживання або за рахунок
позичання грошей, або використовуючи
заощадження. Але в загальному випадку
при інтерпретації значення коефіцієнта
потрібно керуватися здоровим глуздом,
оскільки часто область зміни Х
може
не включати нуль як одну зі спостережуваних
величин.
Можливо, краще інтерпретувати як середню величину впливу на Y всіх змінних, не включених явно в модель. Величина означає, що близько 96% дисперсії тижневих витрат на споживання пояснюється за рахунок доходу. Оскільки може набути найбільшого значення 1, то можна сказати, що якість лінії регресії дуже добра. Коефіцієнт кореляції показує, що дві змінні, споживацькі витрати і дохід, високопозитивно корельовані.
2.7. Ілюстративні приклади
Споживання кави в США в 1970–1980 рр.
Розглянемо дані, наведені в табл. 2.3.
Таблиця 2.3
Споживання кави в США (Y) та середня роздрібна ціна на каву (Х)
у 1970–1980 рр.
Рік |
Y (кількість чашок за день, випитих однією людиною) |
Х (ціна за фунт кави, дол.) |
1970 |
2,57 |
0,77 |
1971 |
2,50 |
0,74 |
1972 |
2,35 |
0,72 |
1973 |
2,30 |
0,73 |
1974 |
2,25 |
0,76 |
1975 |
2,20 |
0,75 |
1976 |
2,11 |
1,08 |
1977 |
1,94 |
1,81 |
1978 |
1,97 |
1,39 |
1979 |
2,06 |
1,20 |
1980 |
2,02 |
1,17 |
З мікроекономіки відомо, що попит на товар в основному залежить від ціни цього товару, ціни товарів, що конкурують з ним або замінюють його, а також доходу покупця. Для того щоб включити всі ці змінні у функцію попиту, нам знадобилася б множинна регресійна модель. До цього ми поки не готові. Тому побудуємо модель функції попиту, що включає залежність попиту лише від ціни товару. Решта величин, що мають відношення до цієї моделі, вважатимемо фіксованими. Тоді, застосовуючи розглянуту раніше двовимірну регресійну модель, отримаємо такі результати:
|
(2.7.1) |
,
,
,
,
,
,
,
.Інтерпретація отриманих результатів така. Якщо середня роздрібна ціна за фунт кави виросте на 1 дол., то середнє споживання чашок кави в день одна людина зменшить на 0,5 чашки. Якби ціна кави дорівнювала нулю, то середнє споживання кави однією людиною в день склало б близько 2,7 чашок. Звичайно, як було зазначено раніше, дуже часто ми не можемо дати фізичної інтерпретації коефіцієнту . Зверніть увагу, що навіть при нульовій ціні на каву люди не стали б надмірно її споживати через негативний вплив кофеїну на здоров’я. Величина означає, що близько 66% дисперсії щоденного споживання кави пояснюється дисперсією її роздрібної ціни.
Наскільки ця модель є реалістичною? Зауваживши, що вона не включає всіх змінних, які стосуються її, ми не можемо сказати, що отримали остаточну функцію попиту на каву. Пізніше ми розглянемо більш реальну модель попиту на каву.
Функція споживання Кейнса для США в період 1980–1991 рр.
Таблиця 2.4
Дані по США Y (особисті витрати на споживання) і
Х (валовий внутрішній продукт) (ціни 1987 р.)
Рік |
Y, млн. дол. |
X, млн. дол. |
1980 |
2,447,1 |
3,776,3 |
1981 |
2,476,9 |
3,843,1 |
1982 |
2,503,7 |
3,760,3 |
1983 |
2,619,4 |
3,906,6 |
1984 |
2,746,1 |
4,148,5 |
1985 |
2,865,8 |
4,279,8 |
1986 |
2,969,1 |
4,404,5 |
1987 |
3,052,2 |
4,539,5 |
1988 |
3,162,4 |
4,718,6 |
1989 |
3,223,3 |
4,838,0 |
1990 |
3,260,4 |
4,877,5 |
1991 |
3,240,8 |
4,821,0 |
На основі даних табл. 2.4 може бути проведена така оцінка за МНК для Y і Х:
|
(2.7.2) |
,
,
,
,
.
Із
цих результатів випливає, що в період
1980–1991 рр. середні споживацькі витрати
зростали на 72 центи з одного долара в
прирості ВВП, тобто гранична схильність
до споживання (МРС) дорівнювала приблизно
72 центам. Якщо інтерпретувати буквально
величину 232, що визначає перетин лінії
регресії з віссю Y,
то можна сказати, що при нульовому
ВВП витрати на споживання склали б 232
млн дол. Ще раз вкажемо на відсутність
економічного значення в подібному
трактуванні, оскільки в нашому випадку
інтервал зміни Х
не містить цього значення. Величина
означає, що ВВП пояснює близько 99%
дисперсії середніх споживацьких витрат.
Це дуже високе значення коефіцієнта
детермінації. Однак постає питання, чи
дійсно найпростіша модель функції
споживання підходить для пояснення
сукупних витрат на споживання в США.
Виявляється, що іноді дуже проста
(двовимірна) регресійна модель може
дати корисну інформацію. Оцінки МРС для
США, проведені на основі складних
моделей, також показують, що МРС дорівнює
приблизно 0,7.