9.4. Коефіцієнт детермінації r2 у матричному позначенні

Коефіцієнт детермінації R² визначається так:

.

У разі двох змінних

,

а в разі трьох змінних

.

Узагальнюючи на випадок k змінних, отримуємо

.

(9.4.1)

Рівність (9.4.1) можна переписати як

.

(9.4.2)

Для нашого прикладу

, , .

Підставляючи ці значення в (9.4.2), одержуємо R²=0,962062.

9.5. Кореляційна матриця

Раніше зупинялися на понятті кореляційних коефіцієнтів нульового порядку , , і на понятті частинних або першого порядку кореляційних коефіцієнтів , , та їх взаємозв’язку. Для випадку моделі з k змінними ми матимемо всього кореляційних коефіцієнти нульового порядку. Їх можна подати у вигляді матриці, що називається кореляційною матрицею R:

.

(9.5.1)

Тут індекс 1, як і раніше, позначає залежну змінну Y ( позначає кореляційний коефіцієнт між Y і X₂ і т.д.). При цьому ми використовували той факт, що кореляційний коефіцієнт по відношенню до самого себе дорівнює 1.

Із кореляційної матриці R можна отримати кореляційні коефіцієнти першого порядку й більш високих порядків.

9.6. Перевірка гіпотез про індивідуальні коефіцієнти регресії в матричному позначенні

Якщо нашою метою є проведення статистичних висновків, то нам необхідно припустити, що збурення підкоряються деякому закону розподілу. Як ми раніше вже згадували, у регресійному аналізі ми звичайно приймаємо, що кожний підкоряється нормальному закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією . У матричних позначеннях ми запишемо

.

(9.6.1)

Припускаючи нормальність розподілу вектора u у разі дво- й тривимірних моделей лінійної регресії, ми знаємо, що отримані за МНК оцінки також нормально розподілені. Узагальнюючи цей результат на випадок k змінних, можна показати, що

,

тобто кожен елемент вектора розподілений нормально з математичним сподіванням, яке дорівнює відповідному елементу істинного , а дисперсія задається добутком на відповідний діагональний елемент оберненої матриці .

Оскільки на практиці невідома, то використовують її оцінку . У такому разі шляхом звичайного переходу до t-розподілу приходимо до висновку про те, що кожний елемент вектора підкоряється закону t-розподілу з (n–k) степенями вільності. У математичних позначеннях

(9.6.2)

з (n–k) степенями вільності, де – будь-яка компонента вектора . Отже, t-розподіл може бути застосований для перевірки гіпотез про істинне значення , а також встановлення для довірчого інтервалу. Сам механізм застосування обговорювався нами раніше.