7.5. Перевірка структурної стабільності моделей регресії

У табл. 7.7 наведені дані про особисті заощадження й особистий дохід у Великобританії в період 1946–1963 рр.

Таблиця 7.7

Рік	Заощадження, млрд дол.	Дохід, млрд дол.
1946	0,36	8,8
1947	0,21	9,4
1948	0,08	10,0
1949	0,20	10,6
1950	0,10	11,0
1951	0,12	11,9
1952	0,41	12,7
1953	0,50	13,5
1954	0,43	14,3
1955	0,59	15,5
1956	0,90	16,7
1957	0,95	17,7
1958	0,82	18,6
1959	1,04	19,7
1960	1,53	21,1
1961	1,94	22,8
1962	1,75	23,9
1963	1,99	25,2

Припустимо, ми хочемо визначити, як особисті заощадження пов’язані з особистим доходом, тобто ми хотіли б отримати оцінку функції заощаджень. Якщо звернутися до даних з табл. 7.7, то можна відзначити, що характер заощаджень по відношенню до доходу в період 1946–1954 рр., післявоєнний (реконструктивний) період, відрізняється від періоду 1955–1963 рр., який називатимемо постреконструктивним. Інакше кажучи, функція заощаджень зазнає структурних змін між цими двома періодами, у тому розумінні, що її параметри змінюються.

Для перевірки цього факту припустимо, що функція заощаджень для двох періодів має такий вигляд:

- реконструктивний період:

, t=1, 2,…n1;

(7.5.1)

- постреконструктивний:

, t=1, 2,…n2,

(7.5.2)

де Y – особисті заощадження; X – особистий дохід; і – збурюючі складові, а n₁, n₂ – кількість спостережень у перший і другий періоди відповідно. Кількість спостережень в періодах може збігатися або ні.

Структурні зміни функції заощаджень означають, що параметри регресій можуть відрізнятися. Зрозуміло, якщо не спостерігаються структурні зміни, то всі дані можна об’єднати й оцінити на їх підставі одну функцію заощаджень

.

(7.5.3)

Для з’ясування, чи існують насправді структурні зміни функції заощаджень застосовують тест Чоу.

Цей тест ґрунтується на таких двох припущеннях:

• , , тобто обидва стохастичні складоваи розподілені нормально і мають однакові дисперсії;

• і розподілені незалежно.

Тест Чоу складається з чотирьох етапів:

1. Об’єднуємо спостереження n₁ і n₂, знаходимо оцінку (7.5.3) і підраховуємо суму квадратів залишків RSS, назвемо її s₁ з (n₁+n₂–k) степенями вільності. Тут k – кількість оцінених параметрів у рівнянні регресії (у нашому випадку2);

2. Виконуємо регресії (7.5.1) і (8.82) і одержуємо їх RSS, скажімо, s₂ і s₃ з (n₁–k) і (n₂–k) кількістю степенів вільності, відповідно. Складаємо ці RSS і знаходимо s₄=s₂+s₃ з (n₁+n₂–2k) степенями вільності;

3. Одержуємо s₅=s₁+s₄.