4.7. Зауваження щодо стохастичної складової
Розглянемо модель регресії, у якій порівняно з (4.4.1) відсутня стохастична складова:
|
(4.7.1) |
.З метою проведення регресійного аналізу цю модель можна подати в трьох різних видах:
|
(4.7.2) |
|
(4.7.3) |
|
(4.7.4) |
;
;
.Після логарифмування цих рівнянь одержуємо
|
(4.7.5) |
; |
|
|
|
;
,де .
Модель типу (4.7.2) приводиться до лінійної (за параметрами) моделі регресії в тому розумінні, що шляхом відповідного перетворення (логарифмування) вона може бути приведена до лінійної щодо параметрів і моделі. Зазначимо, що вона нелінійна щодо параметра .
Хоча
моделі (4.7.2) і (4.7.3) є лінійними моделями
регресії і їх оцінка може проводитися
за МНК, слід велику увагу приділити
властивостям стохастичної складової,
що входить у модель . Пригадаємо, що
властивість якнайкращої лінійної
незміщеної оцінки за МНК вимагає, щоб
стохастична складова
мала математичне сподівання, яке дорівнює
нулю, постійну дисперсію та нульову
автокореляцію. При перевірці гіпотез
ми також припускаємо, що
розподіляється за нормальним законом
розподілу з математичним сподіванням
і дисперсією, згаданими вище, тобто
припускаємо, що
.
Звернемося до моделі (4.4.2). Логарифмічне перетворення приводить її до вигляду (4.4.5). Для використання класичної лінійної моделі регресії необхідно зробити припущення про те, що
|
(4.7.6) |
.
Отже,
коли ми проводимо регресію за моделлю
(4.7.5), то
повинен бути розподілений за нормальним
законом розподілу з нульовим математичним
сподівання і постійною дисперсією. У
такому разі
в (4.7.2) розподілений за логарифмічно-нормальним
законом розподілу з математичним
сподіванням
і дисперсією
.
5. Множинний регресійний аналіз. Задача оцінювання
Вивчена раніше регресійна модель із двома змінними часто виявляється на практиці неадекватною. Наприклад, у нашому випадку моделі “споживання – дохід” передбачалося, що дохід Х впливає на витрати Y. Але економічна теорія рідко буває настільки простою, оскільки окрім доходу чимала кількість інших змінних може впливати на витрати й споживання. Очевидним прикладом є заощадження покупця. Іншим прикладом є залежність попиту на товар не тільки від ціни цього товару, але й від ціни конкуруючих товарів, доходу покупця, його соціального статусу і т.д. Отже, ми повинні поширити нашу просту модель з двома змінними на випадок з великою кількістю змінних. Додавання додаткових змінних приводить нас до обговорення множинної регресійної моделі, тобто такої моделі, у якій залежна змінна, або регресант Y залежить від двох або більше змінних.
Найпростішою з таких моделей є модель із трьома змінними – однією пояснюваною і двома пояснювальними. Перейдемо до вивчення цієї моделі. При цьому ми вважатимемо, що множинна регресійна модель лінійна за параметрами, хоча може бути нелінійною за змінними.