Обчислимо

.

(7.4.9)

Можна показати, що обчислена величина підкоряється закону F-розподілу з m і (n–k) степенями вільності.

Наведений вище F-тест можна виразити і в R². У такому випадку маємо вираз

.

(7.4.10)

Тут і позначають коефіцієнти детермінації регресії без обмежень (7.4.2) і з обмеженнями (7.4.8) відповідно. Побіжно зазначимо, що

, .

Нагадаємо також, що оскільки в регресії без обмежень і з обмеженнями залежні змінні не збігаються, то не можна безпосередньо порівнювати коефіцієнти детермінації і .

Приклад. Виробнича функція Коба–Дугласа для агросектору Тайваню в 1958–1972 рр.

Проілюструємо викладений вище підхід прикладом виробничої функції для агросектора Тайваню в 1958–1972 рр. (див. табл. 5.3).

Результати регресії за моделлю без обмежень подані формулами (7.10.4). Тепер припустимо, що ми накладаємо обмеження і застосовуємо модель (7.4.8). У результаті одержуємо

(0,4159) (0,0933) , .

(7.4.11)

Відзначимо, що величини R² в (7.10.4) і (7.4.11) не можна порівнювати, оскільки праві частини рівнянь мають різний вигляд. Для їх порівняння потрібно виконати процедуру, описану в розд. 5 . Якщо застосувати даний прийом, то для моделі (7.4.13) ми одержуємо R²=0,8489, що виявляється менше, ніж R²=0,8890 в моделі (7.12.4) без обмежень.

Отже, з (7.10.4) ми отримали , а з (7.4.13) – . Тепер ми можемо застосувати F-тест (7.4.10):

.

(7.4.12)

Дана величина F підкоряється закону F-розподілу з 1 і 12 степенями вільності. Із таблиць розподілу Фішера знаходимо, що F_0.05(1, 12)=4,75, але F_0.1(1, 12)=3,18. Таким чином, значення F=4,3587 не є значущим при =0,05, але є таким при =0,1. Якщо при дослідженні ми встановимо=0,05, то гіпотезу ми відхилити не зможемо, а це означає, що період дослідження не відрізняється значущо від 1. Цей приклад показує, наскільки важливо проводити формальну перевірку гіпотези, а не покладатися тільки на величину оцінених коефіцієнтів регресії. Даний випадок також нагадує, що ми повинні встановлювати рівень значущості до початку перевірки гіпотези, а не після її проведення. Як згадувалося раніше, доцільно наводити значення p-величини. У даному прикладі p=0,0588. Звідси бачимо, що F=4,3587 значуща для .

Узагальнений F-тест

Формули (7.4.9), (7.4.10) представляють загальний метод перевірки гіпотез щодо параметрів моделі регресії з k змінними

.

(7.4.13)

F-тест (7.2.16) або t-тест (8.3.3) є не що інше, як спеціальний випадок (7.4.10). Наприклад, такі гіпотези, як

;	(7.4.14)
,	(7.4.15)

що накладають декілька лінійних зв’язків на параметри моделі з k параметрами, або гіпотеза

,

(7.4.16)

стверджуюча, що деякі регресори, відсутні в моделі, можуть бути перевірені за допомогою F-тесту (7.4.10).

Загальна стратегія застосування F-тесту така. Є велика модель, модель без зв’язків (7.4.13), і є менша модель, модель зі зв’язками, яка виходить з більшої шляхом виключення з неї декількох змінних (випадок (7.4.16), або накладанням декількох зв’язків на коефіцієнти великої моделі (випадки (7.4.14) і (7.4.15)).

Виконуємо регресію моделей без обмеження і з обмеженнями й одержуємо коефіцієнти детермінації і відповідно. Кількість степенів вільності в моделі без обмежень (n–k), а в моделі з обмеженнями m – кількість лінійних обмежень,1 у (7.4.16) або (7.4.17) і 4 у (7.4.18). Потім ми за (7.4.10) підраховуємо F і застосовуємо правило: якщо підраховане F більше , яке є критичним F для вибраного рівня значущості, ми відкидаємо нульову гіпотезу, у протилежному випадку – не відкидаємо.

Приклад. Попит на курятину в США, 1960–1982.

Розглянемо таку модель попиту на курятину:

,

де Y – попит на курятину на душу населення; Х₂ – реальний дохід, на душу населення, Х₃ – роздрібна ціна на курятину за фунт, Х₄ – роздрібна ціна на свинину за фунт, Х₅ – роздрібна ціна на яловичину за фунт.

У цій моделі , , , і є еластичностями за доходом, власною ціною, крос-ціною (свинина) і крос-ціною (яловичина) відповідно. Згідно з економічною теорією

;

;

, якщо курятина й свинина є конкуруючими продуктами;

, якщо курятина й свинина є взаємодоповнюючими продуктами;

, якщо курятина й свинина є незв’язаними продуктами;

, якщо курятина й яловичина є конкуруючими продуктами;

, якщо курятина й яловичина є взаємодоповнюючими продуктами;

, якщо курятина й яловичина є незв’язаними продуктами.

Припустимо, хтось вважає, що курятина й свинина, курятина й яловичина є незв’язаними продуктами в тому значенні, що на попит курятини не впливають ціни на свинину й яловичину. У прийнятих позначеннях це означає

.

(7.4.17)

З урахуванням цього регресія з обмеженнями набуває вигляду

.

(7.4.18)

Зрозуміло, що за нашою термінологію рівняння (7.4.19) є регресія без обмежень.

Якщо скористатися конкретними даними, то можна отримати такі результати.

Регресія без обмежень:

(0,1557) (0,0833) (0,1109) (0,0997) (0,1007) .

(7.4.19)

Регресія з обмеженнями:

(0,1162) (0,0247) (0,0635) .

(7.4.20)

У дужках указані значення стандартних похибок коефіцієнтів регресії. Зазначимо, що R² в (7.4.19) і (7.4.20) можна порівнювати, оскільки залежна змінна в обох моделях однакова.

Для перевірки гіпотези (7.4.17) необхідно підрахувати значення F за формулою (7.4.10):

.

У нашому випадку m=2, оскільки є два обмеження. Кількість степенів вільності знаменника дорівнює 18. З урахуванням цього, одержуємо

F=1,1224.

(7.4.21)

При 5%-му рівні значущості це значення не виявляється статистично значимим, оскільки F_0.05(2, 18)=3,55. Відповідне значення p=0,3472. Отже, ми не маємо підстав відхиляти нульову гіпотезу – попит на курятину не залежить від ціни на свинину та яловичину.

Відзначимо, що отримана функція попиту на курятину відповідає нашим апріорним очікуванням, оскільки еластичність за доходом позитивна. Оцінена еластичність за ціною виявляється за абсолютною величиною статистично менше 1, тобто попит на курятину нееластичний за ціною. Еластичність за доходом, хоча й позитивна, так само виявляється статистично менше 1.