4.2. Масштабування й одиниці вимірювання
Для того щоб зрозуміти суть питання, розглянемо дані, наведені в табл. 4.2. Таблиця 4.2
Валові внутрішні приватні інвестиції (gpdi) і валовий національний продукт (gnp) у цінах 1972 р. У доларах сша, 1974–1983 рр.
Рік |
GPDI, млрд дол |
GPDI, млн дол |
GNP, млрд. дол |
GNP, млн. дол |
1974 |
195,5 |
195500 |
1246,3 |
1246300 |
1975 |
154,8 |
154800 |
1231,6 |
1231600 |
1976 |
184,5 |
184500 |
1298,2 |
1298200 |
1977 |
214,2 |
214200 |
1369,7 |
1369700 |
1978 |
236,7 |
136700 |
1438,6 |
1438600 |
1979 |
236,3 |
136300 |
1479,4 |
1479400 |
1980 |
208,5 |
208500 |
1475,0 |
1475000 |
1981 |
230,9 |
230900 |
1512,2 |
1512200 |
1982 |
194,3 |
194300 |
1480,0 |
1480000 |
1983 |
221,0 |
221000 |
1534,7 |
1534700 |
Припустимо, що в регресії GPDI за GNP один дослідник використовує дані, що обчислюються в мільярдах, а інший – у мільйонах доларів. Чи будуть результати регресійного аналізу однаковими в обох випадках? Якщо ні, то який результат слід використовувати? Інакше, чи впливають одиниці, в яких вимірюються Y і Х, на результати регресійного аналізу?
Щоб відповісти на це запитання, зробимо так. Хай
, |
(4.2.1) |
де – GPDI, – GNP.
Визначимо
|
(4.2.2) |
|
(4.2.3) |
,
,
де
і
– константи, що називаються масштабними
чинниками.
і
можуть збігатися, а можуть бути різними.
З
рівнянь (4.2.2) і (4.2.3) зрозуміло, що
і
змінюють шкалу вимірювань
і
.
Так, якщо
і
вимірюються в мільярдах доларів, а ми
хочемо перейти до вимірювання в мільйонах
доларів, то
|
|
,
.
У
цьому випадку
.
Тепер розглянемо регресію, застосовуючи змінні і :
|
(4.2.4) |
,
де
,
і
.
Ми можемо отримати зв’язок між парами:
і
і
і
|
|
,
,
і
,
і
,
,
і
.За методом найменших квадратів ми маємо
|
(4.2.5) |
, |
(4.2.6) |
|
(4.2.7) |
|
(4.2.8) |
. |
(4.2.9) |
,
,
,Застосовуючи МНК до (6.2.4), одержуємо
|
(4.2.10) |
|
(4.2.11) |
|
(4.2.12) |
|
(4.2.13) |
|
(4.2.14) |
,
,
,
,
.
З
цієї рівності легко отримати співвідношення
між двома наборами оцінок параметрів.
Усе, що для цього потрібно, так це
застосувати рівності:
(або
);
(або
);
;
;
.
Застосовуючи ці співвідношення,
нескладно отримати рівності, що цікавлять
нас:
|
(4.2.15) |
|
(4.2.16) |
|
(4.2.17) |
|
(4.2.18) |
|
(4.2.19) |
|
(4.2.20) |
,
,
,
,
,
.Із цих формул зрозуміло, як за наслідками регресійного аналізу в одних одиницях вимірювання перейти до інших одиниць вимірювання при заданих значеннях масштабного чинника.
Числовий приклад. Співвідношення між GPDI і GNP в США
Наведемо результати регресійного аналізу за даними табл. 4.2.
GPDI і GNP вимірюються в мільярдах доларів:
(76,261127) (0,05406) =0,5641 |
|
GPDI і GNP вимірюються в мільйонах доларів:
(76261,1278) (0,05406) =0,5641 |
|
GPDI – в мільярдах доларів, а GNP – мільйонах доларів:
(76,261127) (0,00005406) =0,5641 |
|
GPDI – в мільйонах доларів, а GNP – мільярдах доларів:
(76261,127) (54,06) =0,5641 |
|
