- •Економетрика конспект лекцій
- •Зауваження................................................................................................118
- •1. Регресійний аналіз. Регресійний аналіз для двох змінних: основні ідеї
- •1.1. Гіпотетичний приклад
- •1.2. Концепція регресійної функції популяції (prf роpulation regression function)
- •1.3. Значення терміна “лінійність”
- •1.4. Стохастичні властивості prf
- •1.5. Важливість урахування складової стохастичного збурення
- •1.6. Вибіркова регресійна функція (srf)
- •2. Двовимірна регресійна модель. Задача оцінки
- •2.1. Метод найменших квадратів
- •Експериментальне визначення srf
- •2.2. Властивості оцінок за мнк
- •Дійсна й оцінена ціна будинку і його житлова площа у кв. Футах
- •Припущення 4 гомоскедастичність або рівність дисперсій
- •Це припущення не таке нешкідливе, як здається. Розглянемо рівняння
- •2.3. Точність або стандартна похибка оцінювачів за мнк
- •2.4. Властивості оцінювачів за мнк: теорія Гаусса-Маркова
- •2.5. Коефіцієнт детермінації : міра «якості підгонки»
- •2.6. Числовий приклад
- •2.7. Ілюстративні приклади
- •3. Інтервальні оцінки і перевірка гіпотез
- •3.1. Інтервальні оцінки: основні ідеї
- •3.2 Довірчі інтервали для регресійних коефіцієнтів і
- •Отже, наприклад, змінна
- •3.3. Довірчий інтервал для
- •3.4. Перевірка гіпотез: загальні зауваження
- •3.5. Перевірка гіпотез: підхід на основі довірчого інтервалу
- •3.6. Перевірка гіпотез: підхід, оснований на перевірці значимості
- •3.7. Перевірка значимості : хі-квадрат тест
- •3.8. Регресійний аналіз і аналіз дисперсії
- •Розглянемо таку змінну:
- •3.9. Застосування регресійного аналізу: проблема прогнозу
- •3.10. Форма звіту за результатами регресійного аналізу
- •3.11. Обчислення результатів регресійного аналізу
- •Залишки для проведення -тесту
- •4. Розвиток двовимірної лінійної моделі регресії
- •4.1. Регресія, що проходить через початок координат
- •4.2. Масштабування й одиниці вимірювання
- •Валові внутрішні приватні інвестиції (gpdi) і валовий національний продукт (gnp) у цінах 1972 р. У доларах сша, 1974–1983 рр.
- •4.3. Функціональний вид регресійної моделі
- •4.4. Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель
- •4.5. Напівлогарифмічні моделі. Визначення темпів зростання.
- •4.6. Обернені моделі
- •4.7. Зауваження щодо стохастичної складової
- •5. Множинний регресійний аналіз. Задача оцінювання
- •5.1. Модель із трьома змінними. Позначення і гіпотези
- •5.2. Інтерпретація рівняння множинної регресії
- •5.3. Значення частинних коефіцієнтів регресії
- •5.4. Оцінка частинних коефіцієнтів регресії за мнк
- •5.6. Проста регресія в контексті множинної регресії
- •5.7. R2 і скорегований r2
- •5.8. Частинні коефіцієнти кореляції
- •5.9. Виробнича функція Коба – Дугласа
- •5.10. Поліноміальная модель регресії
- •6. Припущення нормальності розподілу залишків
- •Витрати на споживання і особистий дохід у сша за 1956–1970 рр.
- •7. Перевірка гіпотез множинної регресії. Загальні зауваження
- •7.1. Перевірка гіпотези про частинний коефіцієнт регресії
- •7.2. Перевірка вибіркової регресії на загальну значущість
- •7.3. Перевірка на рівність двох коефіцієнтів регресії
- •7.4. Перевірка лінійних обмежень
- •Обчислимо
- •7.5. Перевірка структурної стабільності моделей регресії
- •Можна показати, що при виконанні згаданих припущень
- •7.6. Перевірка функціонального виду регресії. Вибір між лінійною моделлю регресії і лінійно-логарифмічною моделлю
- •8. Прогнозування в разі множинної регресії
- •9. Множинна регресія. Матричний метод
- •9.1. Лінійна модель регресії з k змінними
- •9.2. Припущення класичної лінійної моделі регресії в матричній формі
- •Припущення класичної лінійної моделі регресії
- •9.3. Оцінювання за мнк
- •9.4. Коефіцієнт детермінації r2 у матричному позначенні
- •9.5. Кореляційна матриця
- •9.6. Перевірка гіпотез про індивідуальні коефіцієнти регресії в матричному позначенні
- •9.7. Загальна перевірка регресії на значущість. Аналіз дисперсії в матричному позначенні
- •Матричне формулювання anova-таблиці
- •9.8. Перевірка лінійних обмежень. Загальний f-тест у матричних позначеннях
- •9.9. Прогнозування в множинній регресії. Матричне формулювання
- •9.10. Ілюстративний приклад у матричних позначеннях
- •Витрати на споживання на душу населення (ppce) і дохід на душу населення (ppdi) в сша за 1956–1970 рр.
- •Anova-таблиця для даних з таблиці 9.4.
5.10. Поліноміальная модель регресії
Розглянемо так званий клас поліноміальних моделей регресії, що широко застосовуються в дослідженнях, пов’язаних із функцією виробництва. Беручи до розгляду ці моделі, ми ще більше розширюємо область застосування класичної лінійної моделі регресії.
Для кращого розуміння суті розглянемо рис. 5.3, який демонструє зв’язок короткострокових граничних витрат Y на виробництво продукції і обсяг виробництва Х. Схематично побудована крива витрат має U-подібний вигляд, що свідчить про нелінійність зв’язку граничних витрат і обсягу виробництва. У зв’язку з цим виникає питання про вибір економетричної моделі, яка правильно б відображала первинне зниження та подальше зростання граничних витрат.
Рис. 5.3. Крива граничних витрат
Зображена на рис. 5.3 крива формою нагадує параболу. Рівняння параболи має вигляд
. |
(5.10.1) |
Стохастичний аналог цього рівняння
. |
(5.10.2) |
Дане рівняння має назву поліноміальної регресії 2-го порядку.
У загальному випадку поліноміальна регресія k-го порядку може бути записана у вигляді
. |
(5.10.3) |
Відзначимо, що цей тип регресії має тільки одну пояснювальну змінну, яка входить в рівняння з різними степенями. Унаслідок цього ми маємо множинну регресію.
Чи має ця модель які-небудь особливості в порівнянні з раніше розглянутими? Оскільки коефіцієнти регресії входять в моделі (5.10.2), (5.10.3) лінійно, до них може бути застосований звичайний метод найменших квадратів. Чи виникає при цьому проблема мультиколінеарності? Чи можуть бути висококорельованими різні степені Х? Якщо пригадати, що Х2, Х3 і так далі є лінійними функціями, то мультиколінеарність поліноміальній регресії не загрожує.
Для прикладу поліноміальної регресії звернемося до даних із виробництва товару та загальних витрат на його виробництво, наведених у табл. 5.3.
Таблиця 5.3
Продукція, X |
Загальні витрати, Y |
1 |
193 |
2 |
226 |
3 |
240 |
4 |
244 |
5 |
257 |
6 |
260 |
7 |
274 |
8 |
297 |
9 |
350 |
10 |
420 |
Рис. 5.4
Щоб визначити тип регресії, який відповідає даним табл.5.3, слід зобразити ці дані на площині. З поданого графіка (рис.5.4) бачимо, що співвідношення між випуском продукції та загальними витратами на виробництво має вигляд, подібний до букви S. Для опису залежності, яка нас цікавить, зручною є поліноміальна регресія третьої степені
, |
|
де Y – загальні витрати, а X – продукція.
Застосувавши цю модель для наведених у таблиці даних, отримаємо рівняння
(6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591) R2=0,9983. |
|
У дужках вказані стандартні похибки коефіцієнтів регресії.
Висновки
Термін лінійна модель множинної регресії стосується поняття лінійності за коефіцієнтами регресії.
Хоча модель регресії з трьома змінними багато в чому є продовженням двовимірної моделі, з’являються й нові поняття, такі як “частинні коефіцієнти регресії”, “частинні коефіцієнти кореляції”, “множинний коефіцієнт кореляції”, “скорегований і нескорегований коефіцієнти детермінації”, “мультиколінеарність”.
Хоча і є сукупною мірою якості підгонки регресії до початкових даних, їх значущість не слід перебільшувати. Критичними є такі чинники, як відповідність знаків коефіцієнтів моделі нашим апріорним уявленням, а також їх статистична значущість.
Наведені результати для моделі з трьома змінними можна узагальнити на випадок лінійної моделі регресії, що містить будь-яку кількість регресорів. Однак при цьому алгебраїчні вирази стають дуже громіздкими. Цей недолік долається шляхом переходу до матричних операцій.