3.3. Довірчий інтервал для

Як було зазначено в розд. 2, при припущенні про нормальність розподілу змінна

(3.3.1)

розподіляється за законом розподілу з (N–2) степенями вільності. Отже, для побудови довірчого інтервалу для змінної ми можемо застосовувати закон розподілу

,

(3.3.2)

де  визначена за формулою (3.3.1) змінна, що стоїть посередині нерівності, а і  дві величини (критичні величини ), отримані з таблиць розподілу згідно із законом з (N–2) степенями вільності, причому такими, що відсікають 100()% хвостових областей розподілу , як показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. 95%-й довірчий інтервал для розподілу з df = 8

Підставляючи в (3.3.2) з рівності (3.3.1) і перерозподіляючи члени, одержуємо

,

(3.3.3)

який дає 100(1–а)%-й довірчий інтервал для .

Як ілюстрацію розглянемо досліджений раніше приклад (2.6.1)-(2.6.2):

, , , , , , , , , , , .

Тут ми маємо і . Якщо вибрати , то таблиця розподілу для дає такі критичні величини: і . Вони показують, що імовірність величини бути не менше 17,5346 складає 2,5% і не перевищувати 2,1797 є 97,5%. Отже, обмежений цими двома значеннями інтервал є 95%-й довірчий інтервал для , як показано на рис. 3.1.

Підставляючи дані нашого прикладу в (3.3.3), можна перевірити справедливість такого 95%-го довірчого інтервалу для :

, .

Інтерпретація цього інтервалу така: якщо ми встановимо 95%-ві довірчі межі і будемо повторювати багато разів цю процедуру, то в 95 випадках зі ста лежатиме всередині цих інтервалів.

3.4. Перевірка гіпотез: загальні зауваження

Обговоривши проблеми точкової і інтервальної оцінок, ми перейдемо до розділу про перевірку гіпотез. Зазначимо коротко деякі загальні аспекти цієї проблеми.

Проблема перевірки статистичних гіпотез може бути сформульована таким чином: узгоджується дане спостереження або висновок з деякою сформульованою гіпотезою чи ні? Використовуваний термін “узгоджуватися” слід розуміти в значенні «достатньої близькості» до величини, про яку йдеться в гіпотезі. Отже, ми не відкидаємо цю гіпотезу. Так, якщо деяка теорія або досвід приводить нас до переконання, що істинне значення кутового коефіцієнта в прикладі “споживання  дохід”, є одиниця, чи є , отримане з розрахунків за даними з вибірки в табл. 1.3. Якщо це так, ми не відкидаємо гіпотезу, інакше ми можемо її відкинути.

Мовою статистики зазначена гіпотеза має назву нульової гіпотези і позначається символом Н₀. Нульова гіпотеза перевіряється альтернативною гіпотезою Н₁ (відомою також як maintained hypothesis), яка може стверджувати, наприклад, що істинне не дорівнює одиниці. Альтернативна гіпотеза може бути простою або складною (composite). Наприклад, Н₁: є проста гіпотеза, а Н₁:  складна гіпотеза.

Теорія перевірки гіпотез займається розвитком методів або процедур для вирішення питання стосовно нульової гіпотези. Існує два взаємно доповнювальних підходи для розробки (devising) таких правил: довірчий інтервал і перевірка значимості. Згідно з цими підходами, дана змінна (статистика або оцінювач) має деякий розподіл імовірності й перевірка гіпотез включає висловлювання про величини параметрів таких розподілів. Наприклад, ми знаємо, що при припущенні про нормальний розподіл має математичне сподівання і дисперсію, визначувану (2.3.3). Якщо ми висуваємо гіпотезу, що , ми робимо припущення про один з параметрів нормального розподілу, а саме, про його математичне сподівання. Більшість із тих статистичних гіпотез, що розглядатимуться нами далі, будуть подібного типу – висловлювання припущення про один або більше параметрів розподілів, таких як нормальний, F, t або . Як це відбувається на практиці розглянемо у двох наступних підрозділах.